1.5: Sistemas Lineales de Ecuaciones

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Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales reales o complejas:

\[A^{m \times n} x^{n \times 1}=y^{m \times 1}\]

¿Cuándo este sistema tiene una solución x para A e y dadas?

\[\exists \text { a solution } x \Longleftrightarrow y \in \mathcal{R}(A) \Longleftrightarrow \mathcal{R}([A \mid y])=\mathcal{R}(A)\]

Ahora analizamos algunos casos posibles:

Si n = m, entonces\(\operatorname{det}(A) \neq 0 \Rightarrow x=A^{-1} y\), y x es la solución única.
Si m > n, entonces hay más ecuaciones que incógnitas, es decir, el sistema está “sobrerestringido”. Si A y/o y reflejan datos experimentales reales, entonces es muy probable que el vector de componente n y no se encuentre en\(\mathcal{R}(A)\), ya que este subespacio es solo n-dimensional (si A tiene rango de columna completo) o menos, sino que vive en un m - espacio dimensional. El sistema será entonces inconsistente. Este es el tipo de situación que se encuentra en los problemas de estimación o identificación, donde x es un vector parámetro de baja dimensión en comparación con la dimensión de las mediciones que están disponibles. Luego buscamos una elección de x que se acerque más a lograr consistencia, de acuerdo con algún criterio de error. Vamos a decir bastante más sobre esto en breve.
Si m < n, entonces hay menos ecuaciones que incógnitas, y el sistema está “infrarrestringido”. Si el sistema tiene una solución particular\(x_{p}\) (y cuando rank (A) = m, se garantiza que haya una solución para cualquier y) entonces existe un número infinito de soluciones. Más específicamente, x es una solución iff (si y solo si)

\ [\ begin {alineado}
&x=x_ {p} +x_ {h},\ quad A x_ {p} =y,\ quad A x_ {h} =0\ &\ text {es decir} x_ {h}\ in\ mathcal {N} (A)
\ end {alineado}\]

Dado que el espacio nullspace\(\mathcal{N}(A)\) tiene dimensión al menos n - m, hay al menos tantos grados de libertad en la solución. Este es el tipo de situación que ocurre en muchos problemas de control, donde los objetivos de control no limitan o determinan de manera única el control. Luego, normalmente buscamos entre las soluciones disponibles aquellas que sean óptimas de acuerdo con algún criterio.