2.2: Cálculo de la estimación

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La solución,\(\hat{x}\), de la Ecuación 2.1 se caracteriza por:

\[(y-A \hat{x}) \perp \mathcal{R}\tag{A}\]

Todos los elementos en una base de\(\mathcal{R}(A)\) deben ser ortogonales a\((y-A \hat{x})\). Equivalentemente esto es cierto para el conjunto de columnas de\(A, [{a_{1}, \dots a_{n}}]\). Por lo tanto

\ [\ begin {aligned}
(Y-a\ hat {x})\ perp\ mathcal {R} (A) &\ Leftrightarrow a_ {i} ^ {\ prime} (Y-a\ hat {x}) =0\ quad\ text {for} i=1,\ ldots, n\\
&\ Leftrightarrow A^ {\ prime} (Y-a\ hat {x}) =0\\
&\ Leftrightarrow A^ {\ prime} A\ hat {x} =A^ {\ prime} y
\ fin {alineado}\]

Este sistema de m ecuaciones en las m incógnitas de interés se conoce como las ecuaciones normales. Podemos resolver para el único\(\hat{x}\) iff\(A^{\prime}A\) es invertible. Las condiciones para ello se derivarán en breve. En la secuela, presentaremos la generalización de las ideas anteriores para espacios vectoriales infinitos dimensionales.