2.3: Preliminar- El Producto Gram

Dada la matriz de\(n_{A}\) vectores\(A= [a_{1}], \dots, [a_{n_{A}}]\) y la matriz de\(n_{B}\) vectores\(B= [b_{1}], \dots, [b_{n_{B}}]\) de un espacio de producto interno dado, vamos a\(\prec A , B \succ\) denotar la\(n_{A} \times n_{B}\) matriz cuyo elemento (i, j) -ésimo es\(<a_{i}, b_{j}>\). Nos referiremos a este objeto como el producto Gram (¡pero tenga en cuenta que esta terminología no es estándar!).

Si el espacio vectorial en consideración es\(\mathbf{R}^{m}\) o\(\mathbf{C}^{m}\), entonces tanto A como B son matrices con m filas, pero nuestra definición de en realidad\(\prec A , B \succ\) puede manejar A, B más generales. De hecho, el espacio vectorial puede ser de dimensiones infinitas, siempre y cuando solo estemos examinando colecciones finitas de vectores de este espacio. Por ejemplo, podríamos usar la misma notación para tratar colecciones finitas de vectores elegidos del espacio vectorial infinito-dimensional\(\mathcal{L}^{2}\) de funciones integrables cuadradas, es decir, funciones a (t) para las cuales\(\int_{-\infty}^{\infty} a^{2}(t) d t<\infty\). El producto interno en\(\mathcal{L}^{2}\) es\(<a(t), b(t)>=\int_{-\infty}^{\infty} a^{*}(t) b(t) d t\). (El espacio\(\mathcal{L}^{2}\) es un ejemplo de un espacio Hilbert dimensional infinito, y la mayor parte de lo que sabemos para espacios dimensionales finitos, ¡que también son espacios de Hilbert! - tiene generalizaciones naturales a infinitos espacios dimensionales Hilbert. Muchas de estas generalizaciones implican introducir nociones de topología y medida, por lo que no nos aventuraremos demasiado allá. También vale la pena mencionar aquí otro espacio Hilbert dimensional infinito importante que es central para el tratamiento robabilístico de la estimación de mínimos cuadrados: el espacio de variables aleatorias de media cero, con el valor esperado E (ab) sirviendo como producto interno \(<a, b>\).)

Para el habitual producto interior euclidiano en un espacio m-dimensional, donde\(<a_{i}, b_{j}>={a_{i}}^{\prime} b_{j}\), simplemente tenemos\(\prec A , B \succ = A^{\prime}B\). Para el producto interno definido por\(<a_{i}, b_{j}>=a_{i}^{\prime} S b_{j}\) para una definitiva positiva, matriz hermitiana S, tenemos\(\prec A , B \succ = A^{\prime}SB\).

• Verificar que la simetría y linealidad del producto interno impliquen lo mismo para el producto Gram, así\(\prec A F, B G+C H \succ=F^{\prime} \prec A, B \succ G+F^{\prime} \prec A, C \succ H\), para cualquier matriz constante F, G, H (una matriz constante es una matriz de escalares), con A, B, C denotando matrices cuyas columnas son vectores.