6.3: Ejercicios

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Ejercicio 6.1

Supongamos que la salida\(y(t)\) de un sistema está relacionada con la entrada\(u(t)\) a través de la siguiente relación:

\[y(t)=\int_{0}^{\infty} e^{-(t-s)} u(s) d s\nonumber\]

Verificar que el modelo sea lineal, variable en el tiempo, no causal y no carente de memoria.

Ejercicio 6.2

Supongamos que la relación entrada-salida de un sistema viene dada por

\ [y (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
u (t) &\ text {if} |u (t) |\ leq 1\\
\ frac {u (t)} {\ mid u (t)}\ mid &\ text {if} |u (t) |>1
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Esta relación entrada-salida representa un elemento de saturación. ¿Este mapa es no lineal? ¿Es sin memoria?

Ejercicio 6.3

Considere un sistema modelado como un mapa de\(u(t)\) a\(y(t)\), y asuma que sabe que cuando

\ [u (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
1 &\ text {for} 1\ leq t\ leq 2\\
0 &\ text {de lo contrario}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

la salida correspondiente es

\ [y (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
e^ {t-1} -e^ {t-2} &\ text {for} t\ leq 1\\
2-e^ {1-t} -e^ {t-2} &\ text {para} 1\ leq t\ leq 2\
e^ {2-t} -e^ {1-t} &\ texto {para} t\ geq 2
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Además, el sistema lleva la entrada cero a la salida cero. ¿El sistema es causal? ¿Es sin memoria?

Un mapeo particular que es consistente con el experimento anterior se describe por

\[y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|t-s|} u(s) d s\ \tag{6.24}\]

¿El modelo es lineal? ¿Es invariante en el tiempo?

Ejercicio 6.4

Para cada uno de los siguientes mapas, determine si el modelo es (a) lineal, (b) invariante temporal, (c) causal, (d) sin memoria.

\[y(t)=\int_{0}^{t}(t-s)^{3} u(s) d s\nonumber\]
\[y(t)=1+ \int_{0}^{t}(t-s)^{3} u(s) d s\nonumber\]
\[y(t)=u^{3}\tag{t}\]
\[y(t)=\int_{0}^{t} e^{-t s} u(s) d s\nonumber\]