6.2: Representaciones del sistema

Hay dos representaciones generales de un modelo dinámico que nos interesará, a saber, la descripción conductual y la descripción input-output.

6.2.1 Modelos de Comportamiento

Esta es una representación muy general, que en realidad hemos tomado como base para nuestra definición inicial de un modelo dinámico. En esta representación, el sistema se describe como una colección de restricciones sobre las señales designadas,\(w_{i}\). Cualquier combinación\ (w (t) =\ left [\ begin {array} {lll}
w_ {1} (t), &\ cdots & w_ {\ ell} (t)
\ end {array}\ right]\) de señales que satisfaga las restricciones es un comportamiento del modelo,\(w(t) \in \mathbb{B}\), donde\(\mathbb{B}\) denota el comportamiento. Un ejemplo de tal representación es el Ejemplo 6.1.

Linealidad

Llamamos a un modelo lineal si su comportamiento constituye un espacio vectorial, es decir, si se aplica superposición:

\[w_{a}(t), w_{b}(t) \in \mathbb{B} \Longrightarrow \alpha w_{a}(t)+\beta w_{b}(t) \in \mathbb{B}\ \tag{6.15}\]

donde\(\alpha\) y\(\beta\) son escalares arbitrarios. El ejemplo 6.1 es evidentemente lineal.

Tiempo- Invarianza

Llamamos a un modelo invariante en el tiempo (o invariante de traducción, o invariante de desplazamiento) si cada desplazamiento de tiempo posible de un comportamiento, en el que cada una de las señales se desplaza en la misma cantidad, produce un comportamiento:

\[w(t) \in \mathbb{B} \Longrightarrow \sigma_{\tau} w(t)=w(t-\tau) \in \mathbb{B}\ \tag{6.16}\]

para todos válidos\(\tau\), es decir,\(\tau\) para los cuales\(\mathbb{T}-\tau \subset \mathbb{T}\), con\(\sigma_{r}\) denotar el operador\(\tau\) - turno. El ejemplo 6.1 es evidentemente invariable en el tiempo.

Modelos sin memoria

Un modelo no tiene memoria si las restricciones que describen las señales asociadas\(w( \cdot )\) son puramente algebraicas, es decir, solo implican restricciones\(w(t_{0})\) para cada una\(t_{0} \in \mathbb{T}\) (y así no implican derivadas, integrales, etc.). Más interesantes para nosotros son los sistemas sin memoria, o dinámicos, donde las restricciones involucran valores de señal en diferentes momentos.

6.2.2 Modelos de Entrada-Salida

Para esta clase de modelos, el sistema se modela como un mapeo de un conjunto de señales de entrada\(u(t)\) a un conjunto de señales de salida,\(y(t)\). Podemos representar este mapa como

\[y(t)=(S u)(t)\ \tag{6.17}\]

(es decir, el resultado de operar en toda la señal\(u( \cdot )\) con el mapeo\(S\) produce la señal\(y( \cdot )\), y el valor particular de la salida en algún momento\(t\) se denota como anteriormente). El mapeo anterior claramente también constituye una restricción relativa\(u(t)\) y\(y(t)\); este hecho podría enfatizarse reescribiendo trivialmente la ecuación en la forma

\[y(t)-(S u)(t)=0 \ \tag{6.18}\]

Las definiciones de linealidad, invarianza de tiempo y falta de memoria del caso conductual, por lo tanto, se especializan fácilmente en mapeos. Un ejemplo de una representación del sistema en forma de mapeo es Ejemplo 6.5.

Linealidad e invarianza en el tiempo

Desde el punto de vista conductual, las señales de interés son dadas por\(w(t) = [u(t) y(t)]\). A continuación, de la discusión anterior de los modelos de comportamiento se desprende que el modelo es lineal si y solo si

\[\left(S\left(\alpha u_{a}+\beta u_{b}\right)\right)(t)=\alpha y_{a}(t)+\beta y_{b}(t)=\alpha\left(S u_{a}\right)(t)+\beta\left(S u_{b}\right)(t)\ \tag{6.19}\]

y el modelo es invariable en el tiempo si y solo si

\[\left(S \sigma_{\tau} u\right)(t)=\left(\sigma_{\tau} y\right)(t)=y(t-\tau)\ \tag{6.20}\]

donde\(\sigma_{r}\) está de nuevo el operador\(\tau\) -shift (por lo que la invarianza de tiempo de un mapeo corresponde a requerir mapeo para desplazarse con el operador de turno).

Modelos sin memoria

Nuevamente especializándose en la definición conductual, vemos que un mapeo no tiene memoria si y solo si\(y(t_{0})\) solo depende de\(u(t_{0})\), para cada\(t_{0} \in \mathbb{T}\):

\[y\left(t_{0}\right)=(S u)\left(t_{0}\right)=f\left(u\left(t_{0}\right)\right)\ \tag{6.21}\]

Causalidad

Decimos que el mapeo es causal si la salida no depende de los valores futuros de la entrada. Para describir la causalidad convenientemente en forma matemática, defina el operador de truncamiento\(P_{T}\) en una señal por la condición

\ [\ left (P_ {T} u\ right) (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
u (t) &\ text {for} t\ leq T\\
0 &\ text {for} t>t
\ end {array}\ right.\\ tag {6.22}\]

Así, si\(u\) es un registro de una función sobre todo el tiempo, entonces\((P_{T} u)\) es un registro de\(u\) hasta el tiempo\(T\), trivialmente extendido por 0. Entonces\(S\) se dice que el sistema es causal si

\[P_{T} S P_{T}=P_{T} S \ \tag{6.23}\]

En otras palabras, la salida hasta el tiempo\(T\) depende únicamente de la entrada hasta el tiempo\(T\).

Ejemplo 6.6

El ejemplo 6.5 muestra un sistema representado como un mapa de entrada-salida. Es evidente que el modelo es lineal, invariante de traducción, y no sin memoria (a menos que\(h(x, y) = \delta (x, y)\)).

Nota

Para obtener más información sobre el enfoque conductual para modelar y analizar sistemas dinámicos, consulte

J. C. Willems, “Paradigmas y rompecabezas en la teoría de los sistemas dinámicos”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 36, pp. 259 {294, marzo de 1991.