7.4: Ejercicios

Ejercicio 7.1

Considere la ecuación de diferencia no lineal

\[y(k+n)=F[y(k+n-1), \ldots, y(k), u(k+n-1), \ldots, u(k), k]\nonumber\]

donde\(n\) es un entero fijo, y\(k\) es el índice de tiempo

(a) Encontrar una representación estado-espacio de orden\(2n - 1\) para esta ecuación de diferencia

b) Encontrar una representación estado-espacio de\(n\) orden th-order en el caso LTI (¿cuál es la forma\(F\) en este caso?) , usando transformadas z como guía (las variables de estado natural son los coeficientes de los términos de condición inicial en la versión transformada z de la ecuación de diferencia - pruebe una ecuación de diferencia de tercer orden - recuerde el teorema de desplazamiento hacia adelante de las transformadas z). Esta parte guiará la solución de (c).

(c) Encontrar una representación estado-espacio de\(n\) orden th-order para el sistema no lineal en (a) para el caso en que\(F\) [.] tenga la forma especial

\[F[.]=\sum_{i=1}^{n} f_{i}[y(k+n-i), u(k+n-i)]\nonumber\]

(Pista: Tenga en cuenta que la ecuación de diferencia en la parte (b) tiene esta forma; use su definición de variables de estado en (b) para guiar su elección aquí.)

Ejercicio 7.2

Consideremos un sistema causal de tiempo continuo con representación input-output\(y(t) = h * u(t)\), donde * denota convolución y\(h(t)\) es la respuesta impulsiva del sistema:

\[h(t)=2 e^{-t}-c e^{-2 t} \quad \text { for } t \geq 0\nonumber\]

Aquí\(c\) denota una constante.

(a) Supongamos\(c = 2\). Utilice únicamente la representación de entrada-salida del sistema para mostrar que las variables\(x_{1}(t) = y(t)\) y\(x_{2}(t) = \dot{y}(t)\) califican como variables de estado del sistema en el momento\(t\).

b) Calcular la función de transferencia del sistema, y utilizarla para describir lo que puede ser especial en el caso\(c = 2\).

Ejercicio 7.3

La entrada\(u(t)\) y salida\(y(t)\) de un sistema están relacionadas por la ecuación

\[\frac{d y(t)}{d t}+a_{0}(t) y(t)=b_{0}(t) u(t)+b_{1}(t) \frac{d u(t)}{d t}\nonumber\]

Encontrar una representación lineal y espacio-estado variable en el tiempo de este sistema.

Ejercicio 7.4

Dado el sistema\(x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)\) de periodo que varía periódicamente\(N\), con\(A(k +N) = A(k)\) y\(B(k +N) = B(k)\), definir el estado muestreado\(z[k]\) y el vector de entrada extendido asociado\(v[k]\) mediante

\ [z [k] =x (k N),\ quad v [k] =\ left (\ begin {array} {c}
u (k N)\\
u (k N+1)\\
\ vdots\\
u (k N+N-1)
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Ahora muestran eso\(z[k + 1] = F z[k] + Gv[k]\) para matrices constantes\(F\) y\(G\) (es decir, matrices independientes de\(k\)) determinando\(F\) y\(G\) explícitamente.

Ejercicio 7.5

Que las representaciones espaciales estatales de dos sistemas dados sean

\[x_{i}(k+1)=A_{i} x_{i}(k)+B_{i} u_{i}(k), \quad y_{i}(k)=C_{i} x_{i}(k), \quad i=1,2\nonumber\]

Determinar una representación estado-espacio en la forma

\ [\ comenzar {alineado}
x (k+1) &=A x (k) +B u (k)\\
y (k) &=C x (k)
\ final {alineado}\ nonumber\]

para el nuevo sistema obtenido cuando los sistemas 1 y 2 están interconectados (a) en serie, (b) en paralelo y en un bucle de retroalimentación. Supongamos que el tamaño de las entradas y salidas de los dos sistemas son consistentes para que cada una de las configuraciones anteriores tenga sentido.

Ejercicio 7.6

Considera un péndulo que comprende una masa\(m\) al final de una varilla ligera pero rígida de longitud\(r\). El ángulo del péndulo desde su posición de equilibrio se denota por\(\theta\). Supongamos que se\(u(t)\) puede aplicar un par alrededor del eje de soporte del péndulo (por ejemplo, supongamos que el péndulo está unido al eje de un motor eléctrico, con la corriente a través del motor convertida en par). Un modelo sencillo para este sistema toma la forma

\[m r^{2} \ddot{\theta}(t)+f \dot{\theta}(t)+m g r \sin \theta(t)=u\tag{t}\]

donde el término\(f \dot{\theta}\) representa un par de fricción,\(f\) siendo un coeficiente positivo, y\(g\) es la aceleración debida a la gravedad.

(a) Encontrar una representación estado-espacio para este modelo. ¿Su modelo estado-espacio es lineal? tiempo invariante?

b) ¿Qué entrada nominal\(u_{o}(t)\) corresponde al movimiento nominal\(\theta_{o}(t)=\Omega t\) para todos\(t\), donde\(\Omega\) hay alguna constante fija?

(c) Linealizar su modelo estado-espacio en (a) alrededor de la solución nominal en (b). ¿El modelo resultante es lineal? ¿Es el tiempo invariante o varía periódicamente?

Ejercicio 7.7

Considere el movimiento horizontal de una partícula de masa unitaria que se desliza bajo la influencia de la gravedad sobre un alambre sin fricción. Se puede demostrar que, si el cable está doblado de manera que su altura\(h\) viene dada por\(h(x) = V_{\alpha}(x)\), entonces un modelo estado-espacio para el movimiento viene dado por

\ [\ begin {array} {l}
\ punto {x} =z\
\ punto {z} =-\ frac {d} {d x} V_ {\ alpha} (x)
\ end {array}\ nonumber\]

Supongamos\(V_{\alpha}(x)=x^{4}-\alpha x^{2}\).

(a) Verificar que el modelo anterior tenga\((z, x) = (0, 0)\) como punto de equilibrio para cualquiera\(\alpha\) en el intervalo\(-1 \leq \alpha \leq 1\), y también tenga\((z, x)=(0, \pm \sqrt{\frac{\alpha}{2}})\) como puntos de equilibrio cuando\(\alpha\) esté en el intervalo\(0 < \alpha \leq 1\).

b) Derivar el sistema linealizado en cada uno de estos puntos de equilibrio.