7.3: Linealización

Gran parte de nuestra atención en este curso se centrará en los modelos lineales. Los modelos lineales frecuentemente surgen como descripciones de pequeñas perturbaciones alejadas de una solución nominal del sistema. Consideremos, por ejemplo, el modelo estado-espacio de tiempo continuo (CT)

\ [\ comenzar {alineado}
\ punto {x} (t) &=f (x (t), u (t), t)\\
y (t) &=g (x (t), u (t), t)
\ final {alineado}\\ tag {7.16}\]

donde\(x(t)\) es el vector de estado\(n\) -dimensional en el tiempo\(t\),\(u(t)\) es el vector\(m\) -dimensional de entradas, y\(y(t)\) es el vector\(p\) -dimensional de salidas. Supongamos\(x_{o}(t)\),\(u_{o}(t)\) y\(y_{o}(t)\) constituyen una solución nominal del sistema, es decir, una colección de señales CT que satisfacen conjuntamente las ecuaciones en (7.16). Ahora deje que el control y la condición inicial se perturben de sus valores nominales a\(u(t) = u_{o}(t) + \delta u(t)\) y\(x(0) = x_{o}(0) + \delta x(0)\) respectivamente, y que la trayectoria del estado en consecuencia se perturbe a\(x(t) = x_{o}(t) + \delta x(t)\). Sustituyendo estos nuevos valores en (7.16) y realizando una expansión de la serie Taylor (multivariable) a términos de primer orden, encontramos

\ [\ begin {array} {l}
\ delta x (t)\ approx\ izquierda [\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}\ derecha] _ {o}\ delta x (t) +\ izquierda [\ frac {\ parcial f} {\ parcial u}\ derecha] _ {o}\ delta u (t)\
\ delta y (t)\ aprox\ izquierda [\ frac {\ g parcial} {\ x parcial}\ derecha] _ {o}\ delta x (t) +\ izquierda [\ frac {\ parcial g} {\ parcial u}\ derecha] _ {o} \ delta u (t)
\ end {array}\\ tag {7.17}\]

donde la\(n \times n\) matriz\([{\partial f}/{\partial x}]_{o}\) denota el jacobiano de\(f(., ., .)\) con respecto a\(x\), es decir, una matriz cuya\(ij\) -ésima entrada es la derivada parcial del\(i\) th componente de\(f(., ., .)\) con respecto al\(j\) th componente de\(x\), y donde el otro jacobiano las matrices en (7.17) se definen de manera similar. El subíndice\(_{o}\) indica que los jacobianos son evaluados a lo largo de la trayectoria nominal, es decir, at\(x(t) = x_{o}(t)\) y\(u(t) = u_{o}(t)\). El modelo linealizado (7.17) es evidentemente lineal, de la forma

\ [\ comenzar {alineado}
\ delta x (t) &=A (t)\ delta x (t) +B (t)\ delta u (t)\
\ delta y (t) &=C (t)\ delta x (t) +D (t)\ delta u (t)
\ final {alineado}\\ etiqueta {7.18}\]

Cuando el modelo no lineal original es invariable en el tiempo, el modelo linealizado también será invariable en el tiempo si la solución nominal es constante (es decir, si la solución nominal corresponde a un equilibrio constante); sin embargo, el modelo linealizado puede variar en el tiempo si el nominal la solución varía en el tiempo (incluso si el modelo no lineal original es invariable en el tiempo), y será periódica, es decir, tendrá coeficientes que varían periódicamente, si la solución nominal es periódica (como sucede cuando la solución nominal corresponde a la operación en alguna constante cíclica o periódica estado).

El mismo desarrollo se puede llevar a cabo para los sistemas de tiempo discreto (DT), pero en esta conferencia nos centramos en el caso de la TC.

Ejemplo 7.5 (Linealización de un modelo de circuito no lineal)

Considera linealizar el modelo estado-espacio que obtuvimos para el circuito no lineal en el Ejemplo 7.3. Terminamos ahí con un modelo no lineal de la forma

\ [\ left [\ begin {array} {c}
\ punto {x} _ {1}\
\ punto {x} _ {2}\
\ punto {x} _ {3}
\ end {array}\ derecha] =\ izquierda [\ begin {array} {c}
\ frac {1} {C_ {1}}\ left (\ frac {x_ {2} -x_ {1}}} {R} -\ mathcal {N}\ izquierda (x_ {1}\ derecha)\ derecha)\
\ frac {1} {C_ {2}}\ izquierda (x_ {3} -\ frac {x_ {2} -x_ {1}} {R}\ derecha)\\
-\ frac {1} {L} x_ {2}
\ end {array}\ derecha] +\ izquierda [\ begin {array} {c}
0\\
0\
\ frac {1} {L} v
\ end {array}\ derecha]\\ tag {7.19}\]

Para la linealización, todo lo que sucede es que cada uno\(x_{j}\) es reemplazado por\(\delta x_{j}\), y\(\mathcal{N} (x_{1})\) es reemplazado por\(\left[d \mathcal{N}\left(x_{1}\right) / d x_{1}\right]_{o} \delta x_{1}\), dando como resultado un modelo lineal estado-espacio de la forma

\[\delta \dot{x}(t)=A \delta x(t)+B \delta v(t)\ \tag{7.20}\]

con

\ [A=\ izquierda (\ begin {array} {cccc}
-\ frac {1} {R C_ {1}} -\ frac {1} {C_ {1}}\ izquierda [\ frac {d N} {d x_ {1}}\ derecha] _ {o} &\ frac {1} {R C_ {1}} & 0\
\ frac {1}} {R C_ {2}} & -\ frac {1} {R C_ {2}} &\ frac {1} {C_ {2}}\\
0 &\ frac {1} {L} & 0
\ end {array}\ derecha), B= \ left (\ begin {array} {c}
0\\
0\
\ frac {1} {L}
\ end {array}\ derecha)\\ tag {7.21}\]

Ejemplo 7.6 (Linealización del Péndulo Invertido)

Recordemos del Ejemplo 6.3 las ecuaciones que describen la dinámica del péndulo invertido. Esas ecuaciones son no lineales debido a la presencia de los términos\( \sin(\theta)\),\( \cos(\theta)\), y\((\dot{\theta})^{2}\). Podemos linealizar estas ecuaciones alrededor\(\theta = 0\) y\(\dot{theta}= 0\), asumiendo eso\(\theta (t)\) y\(\dot{\theta}(t)\) seguir siendo pequeñas. Recordemos que para los pequeños\(\theta\)

\ [\ begin {array} {ll}
\ sin (\ theta) &\ approx\ theta-\ frac {1} {6}\ theta^ {3}\\
\ cos (\ theta) &\ approx 1-\ frac {1} {2}\ theta^ {2}
\ end {array}\ nonumber\]

y utilizando las partes lineales de estas relaciones el sistema linealizado de ecuaciones toma la forma

\ [\ comenzar {alineado}
\ izquierda (1-\ frac {m l} {M L}\ derecha)\ ddot {s} +\ frac {m l} {M}\ frac {g} {L}\ theta &=\ frac {1} {M} u\
\ izquierda (1-\ frac {m l} {M L}\ derecha)\ ddot {\ ththeta} -\ frac {g} {L}\ theta &=-\ frac {1} {M L} u
\ end {alineado}\ nonumber\]

Usar como vector de estado

\ [x=\ left [\ begin {array} {c}
s\
\ punto {s}\\
\ theta\
\ punto {\ theta}
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

se puede obtener fácilmente el siguiente modelo estado-espacio:

\ [\ begin {alineado}
d &\ left (\ begin {array} {c}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
x_ {3}\\
x_ {4}
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c}
0 & 1 & 0 & 0 &
0\\ 0 & -\ alpha\ frac {m l} {M L} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 &\ alpha\ frac {g} {L} & 0
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {c}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
x_ {3}\\
x_ {4}
\ end {array}\ derecha) +\ izquierda (\ x_ begin {array} {c}
0\
\ frac {\ alpha} {M}\\
0\\
-\ frac {\ alpha} {L M}
\ end {array}\ right) u\\
y &=\ left [\ begin {array} {cccc}
1 & 0 & 0 & 0
\ end {array}\ right) x
\ end {alineado}\ nonumber\]

donde la constante\ (\ alpha) viene dada por

\[\alpha=\frac{1}{\left(1-\frac{m l}{M L}\right)}\nonumber\]