14.2: Método Indirecto de Lypanunov- Analizando la Linealización

Supongamos que el sistema

\[\dot{x}=f(x) \label{14.8}\]

tiene un punto de equilibrio en\(\bar{x} = 0\) (un equilibrio en cualquier otra ubicación puede ser tratado por un cambio preliminar de variables para mover ese equilibrio al origen). Supongamos que podemos escribir

\[f(x)=A x+h\tag{x}\]

donde

\[\lim _{\|x\| \rightarrow 0} \frac{\|h(x)\|}{\|x\|}=0\nonumber\]

es decir,\(h(x)\) denota términos que son de orden superior a lineal, y\(A\) es la matriz jacobiana asociada con la linealización de (14.8) alrededor del punto de equilibrio. El sistema linealizado es así dado por

\[\dot{x}=A x \label{14.9}\]

Podríamos esperar que si la Ecuación\ ref {14.9} es asintóticamente estable, entonces en un pequeño vecindario alrededor del punto de equilibrio, el sistema en la Ecuación\ ref {14.8} se comporta como la Ecuación\ ref {14.9} y será estable. Esto se hace preciso en el siguiente teorema.

Teorema 14.3

Si el sistema descrito por la Ecuación\ ref {14.9} es asintóticamente estable, entonces el punto de equilibrio del sistema (Ecuación\ ref {14.8}) en el origen es (localmente) asintóticamente estable.

Prueba

Si el sistema (14.9) es asintóticamente estable, entonces para cualquiera\(Q > 0\), existe\(P > 0\) tal que

\[A^{T} P+P A=-Q\nonumber\]

y\(V (x) = x^{T} P x\) es una función Lyapunov para sistema (14.9). Considerar\(V (x)\) como una función Lyapunov candidata para sistema (14.8). Entonces

\ [\ comenzar {alineado}
\ punto {V} (x) &=x^ {T}\ izquierda (A^ {T} P+P A\ derecha) x+2 x^ {T} P h (x)\\
&\ leq-\ lambda_ {\ min} (Q)\ |x\ |^ {2} +2\ |x\ |\ cdot\ |h (x)\ | cdot\ lambda_ {\ max} (P)\\
&\ leq-\ izquierda [\ lambda_ {\ min} (Q) -2\ lambda_ {\ max} (P)\ frac {\ |h (x)\ |} {\ |x\ |}\ derecha]\ cdot\ |x\ |^ {2}
\ final {alineado}\ nonumber\]

Desde el supuesto en\(h\) adelante, para cada\(\epsilon > 0\), existe\(r > 0\) tal que

\[\|h(x)\|<\epsilon\|x\|, \quad \forall\|x\|<r\nonumber\]

Esto implica que\(\dot{V}\) es estrictamente negativo para todos\(\|x\|<r\), donde\(r\) se elige para

\[\epsilon<\frac{\lambda_{\min }(Q)}{2 \lambda_{\max }(P)}\nonumber\]

Con esto concluye la prueba.

Observe que la estabilidad asintótica del punto de equilibrio del sistema (14.8) puede concluirse a partir de la estabilidad asintótica del sistema linealizado (14.9) solo cuando los valores propios de\(A\) tienen partes reales negativas. También se puede demostrar que si hay algún valor propio de A en el medio plano derecho, es decir, si la linealización es exponencialmente inestable, entonces el punto de equilibrio del sistema no lineal es inestable. El teorema anterior no es concluyente si hay valores propios en el eje imaginario, pero ninguno en el medio plano derecho. Los términos de orden superior del modelo no lineal pueden desempeñar en este caso un papel decisivo en la determinación de la estabilidad; por ejemplo, si la linealización es polinomialmente (en lugar de exponencialmente) inestable, debido a la presencia de uno o más bloques Jordan de tamaño mayor que 1 para valores propios en el eje imaginario (y la ausencia de valores propios en el medio plano derecho), entonces los términos de orden superior aún pueden hacer que el punto de equilibrio sea estable.

Resulta que versiones más fuertes del teorema anterior sostienen si no\(A\) tiene valores propios en el eje imaginario: no sólo las propiedades de estabilidad del punto de equilibrio, sino también el comportamiento local de (14.8) pueden relacionarse con el comportamiento de (14.9). No vamos a discutir estos resultados más aquí. Se mantienen resultados similares para sistemas de tiempo discreto.

Ejemplo 14.4

Las ecuaciones de movimiento para un péndulo con fricción son

\ [\ begin {alineado}
\ punto {x_ {1}} &=x_ {2}\
\ punto {x_ {2}} &=-x_ {2} -\ sin x_ {1}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Los dos puntos de equilibrio del sistema están en\((0, 0)\) y\((\pi, 0)\). El sistema linealizado en el origen viene dado por

\ [\ begin {array} {l}
\ punto {x_ {1}} =x_ {2}\
\ punto {x_ {2}} =-x_ {1} -x_ {2}
\ end {array}\ nonumber\]

o

\ [\ punto {x} =\ left [\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
-1 & 0
\ end {array}\ right] x=AX\ nonumber\]

Esto\(A\) tiene todos sus valores propios en el OLHP. De ahí que el punto de equilibrio en el origen sea asintóticamente estable. Tenga en cuenta, sin embargo, que si no hubiera amortiguación, entonces el sistema linealizado sería

\ [\ punto {x} =\ left [\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
-1 & 0
\ end {array}\ right] x\ nonumber\]

y la matriz resultante\(A\) tiene valores propios en el eje imaginario. No se pueden sacar conclusiones de esta situación utilizando los métodos de linealización de Lyapunov. El método directo de Lyapunov, por el contrario, nos permitió concluir estabilidad incluso en el caso de amortiguación cero, y también permitió algunas conclusiones globales detalladas en el caso de la amortiguación.

La linealización alrededor del punto de equilibrio en (\(\pi, 0\)) es

\ [\ begin {array} {l}
\ punto {z_ {1}} =z_ {2}\
\ punto {z_ {2}} =+z_ {1} -z_ {2}
\ end {array}\ nonumber\]

donde\(z_{1}=x_{1}-\pi\) y\(z_{2}=x_{2}\), por lo que estas variables denotan las (pequeñas) desviaciones de\(x_{1}\) y\(x_{2}\) de sus respectivos valores de equilibrio. De ahí

\ [A=\ left [\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
1 & -1
\ end {array}\ right] x=A x,\ nonumber\]

que tiene uno autovalores en el RHP, lo que indica que este punto de equilibrio es inestable.