15.1: Medidas de señal

Las señales de interés para nosotros se definen como mapas a partir de un tiempo establecido en\(\mathbb{R}^{n}\). Una señal de tiempo continuo es un mapa de\(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), y una señal de tiempo discreto es un mapa de\(\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\). Si\(n = 1\) tenemos una señal escalar, de lo contrario tenemos una señal valorada por vector. Es útil, para comprender las diversas medidas de señal definidas a continuación, visualizar una señal de tiempo discreto\(w(k)\) como solo un vector de longitud o dimensión infinita (o, si nuestra señal se define solo para un tiempo no negativo, entonces un vector de semi-infinito) longitud o dimensión, representándola concretamente como matriz

\ [\ left (\ begin {array} {c}
\ vdots\\
w (0)\\
w (1)\\
\ vdots
\ end {array}\ right)\ quad\ text {o}\ quad\ left (\ begin {array} {c}
w (0)\\
w (1)\
\\ vdots
\ end {array}\ derecha)\ tag {15.1}\ ]

Tres de las medidas de señal DT más utilizadas son entonces generalizaciones naturales de las normas vectoriales finito-dimensionales (\(\infty\)-, 2- y 1-normas) que ya hemos encontrado en capítulos anteriores, generalizadas a tales vectores infinito-dimensionales. Examinaremos estas tres medidas, y una cuarta que está relacionada con la norma 2, pero no es del todo una norma. También definiremos las medidas de señal CT que son contrapartes naturales de las medidas DT.

Las medidas de señal que estudiamos a continuación son:

1. magnitud pico (o\(\infty\) -norma);
2. energía (cuya raíz cuadrada es la norma 2);
3. potencia (o energía media, cuya raíz cuadrada es el valor “rms” o raíz cuadrática media);
4. “acción” (o 1-norma).

Magnitud Pico: La\(\infty\) -Norma

La\(\infty\) -norma\(\|w\|_{\infty}\) de una señal es su magnitud máxima, evaluada sobre todos los componentes de la señal y todos los tiempos:

\ [\ begin {alineado}
\ |w\ |_ {\ infty} &\ triangleq\ text {magnitud máxima de} w\\
&\ triangleq\ sup _ {k}\ max _ {i}\ izquierda|w_ {i} (k)\ derecha|=\ sup _ {k}\ |w (k)\ |_ {\ infty}\ (\ texto {para Sistemas DT})\ (15.2)\\
&\ triangleq\ sup _ {t}\ max _ {i}\ izquierda|w_ {i} (t)\ derecha|=\ sup _ {t}\ |w (t)\ |_ {\ infty}\ (\ text {para sistemas CT})\ (15.3)
\ end {alineado}\ nonumber\]

donde\(w_{i}(k)\) indica la\(i\) -ésima componente del vector de señal\(w(k)\). Obsérvese que\(\|w(k)\|_{\infty}\) denota la\(\infty\) -norma del valor de la señal en el tiempo\(k\), es decir, la norma 1 familiar de un n-vector, es decir, la magnitud máxima entre sus componentes. Por otro lado, la notación\(\|w\|_{\infty}\) denota la\(\infty\) -norma de toda la señal. El “sup” denota el límite supremo o menos superior, el valor que se aproxima arbitrariamente de cerca pero nunca (es decir, en ningún momento finito) excedido. Usamos “sup” en lugar de “max” porque a lo largo de un conjunto de tiempo infinito la magnitud de la señal puede no tener un máximo, es decir, un valor pico que realmente se alcanza | considere, por ejemplo, el caso simple de la señal

\[1-\frac{1}{1+|k|}\nonumber\]

que no alcanza su valor supremo de 1 para ningún finito\(k\).

Obsérvese que la definición DT es la generalización natural de la\(\infty\) norma estándar para vectores finito-dimensionales al caso de nuestro vector infinito en (15.1), mientras que la definición CT es la contraparte natural de la definición DT. Este patrón es típico de todas las normas de señal que tratamos, y no volveremos a comentarlo explícitamente.

Ejemplo 15.1

Algunas señales acotadas:

(a)\ (\ begin {array} {l}
\ text {Para} w (t) =1, t\ in\ mathbb {R}, t\ geq 0\\
\ |w\ |_ {\ infty} =1
\ end {array}\)

(b)\ (\ begin {array} {l}
\ text {Para} w (t) =a^ {t}, t\ in\ mathbb {Z}:\\
\ |w\ |_ {\ infty} =\ infty\ texto {si} |a|\ neq 1\ text {y}\ |w\ |_ {\ infty} =1\ text {de lo contrario}
\ end {array}\)

El espacio de todas las señales con\(\infty\) norma finita generalmente se denota por\(l_{\infty}\) y\(\mathcal{L}_{\infty}\) para las señales DT y CT respectivamente. Para las señales con valores vectoriales, el tamaño del vector se puede añadir explícitamente al símbolo, por ejemplo,\(l_{\infty}^{n}\). Estos forman espacios vectoriales nórdicos.

La energía y la norma 2

La norma 2 de una señal es la raíz cuadrada de su “energía”, que a su vez se define como la suma (en DT) o integral (en CT) de los cuadrados de todos los componentes a lo largo de todo el tiempo establecido:

\ [\ begin {alineado}
\ |w\ |_ {2} &\ triangleq\ text {raíz cuadrada de energía en} w\\
&\ triangleq\ left [\ sum_ {k} w^ {T} (k) w (k)\ right] ^ {\ frac {1} {2}} =\ left [\ sum_ {k}\ |w (k)\ |_ {2} ^ {2}\ derecha] ^ {\ frac {1} {2}} &\ text {(para sistemas DT)}\ (15.4)\\
&\ triangleq\ izquierda [\ int w^ {T} (t) w (t) d t\ derecha] ^ {\ frac {1} {2}} =\ izquierda [\ int_ {t}\ |w (t)\ |_ {2} ^ {2} d t\ derecha] ^ {\ frac {1} {2}} &\ text {(para sistemas CT)}\ (15.5)
\ end {alineado}\ nonumber\]

Ejemplo 15.2

Algunos ejemplos:

(a)\ (\ begin {array} {l}
\ text {Para} w (t) = e^ {-at}\ texto {y tiempo establecido} t\ geq 0,\ text {con} a>0:\\
\ |w\ |_ {2} =\ frac {1} {\ sqrt {2a}} <\ infty\ end {array}\)

(b)\ (\ begin {array} {l}
\ text {Para} w (t) =1\ texto {y tiempo establecido} t\ geq 0:\\
\ |w\ |_ {2} =\ infty\ end {array}\)

(c)\ (\ begin {array} {l}
\ text {Para} w (t) =\ cos\ omega_ {o} t\ text {y tiempo establecido} t\ geq 0:\\
\ |w\ |_ {2} =\ infty\ end {array}\)

Estos ejemplos sugieren que las señales de energía rebotada van a cero a medida que avanza el tiempo. Para las señales de tiempo discreto, esta expectativa se mantiene: si\(\|w\|_{2}<\infty\), entonces\(\|w(k)\| \longrightarrow 0 \text { as } k \longrightarrow \infty\). Sin embargo, para las señales de tiempo continuo, la propiedad de tener energía acotada no implica eso\(\|w(t)\| \longrightarrow 0 \text { as } t \longrightarrow \infty\), a menos que se hagan suposiciones adicionales. Esto se debe a que las señales de energía delimitadas en tiempo continuo aún pueden tener excursiones arbitrariamente grandes en amplitud, siempre que estas excursiones ocurran en intervalos de tiempo suficientemente estrechos como para que la integral del cuadrado permanezca finita; considere, por ejemplo, una señal CT que sea cero en todas partes, excepto por una pulso triangular de altura\(k\) y base\(1/k^{4}\) centrado en cada valor entero distinto de cero\(k\). Si la señal de tiempo continuo\(w(t)\) es diferenciable\(w\) y tanto como su derivada\(\dot{w}\) tienen energía acotada (que no es el caso del ejemplo de pulso triangular precedente), entonces es cierto que\(\|w(t)\| \longrightarrow 0 \text { as } t \longrightarrow \infty\). El lector tal vez desee verificar este hecho.

No es difícil demostrar que las señales DT o CT con 2 normas finitas forman un espacio vectorial. En el espacio vectorial `\(l_{2}\)(respectivamente\(\mathcal{L}_{2}\)) de las señales DT (CT respectivamente) con 2-norma finita, se puede definir un producto interno natural de la siguiente manera, entre señales\(x\) y\(y\):

\[\langle x, y\rangle \triangleq\left[\sum_{k} x^{T}(k) y(k)\right] \quad \text { (for DT systems) } \ \tag{15.6}\]

\[\triangleq\left[\int x^{T}(t) y(t) d t\right] \quad \text { (for CT systems) } \ \tag{15.7}\]

(La norma 2 es entonces solo la raíz cuadrada del producto interno de una señal consigo misma.) Estos espacios vectoriales de producto interno de dimensiones infinitas particulares son de gran importancia en las aplicaciones, y son los principales ejemplos de lo que se conoce como espacios Hilbert.

Potencia y valor RMS

Otra medida de señal de interés es la “potencia” o energía media de la señal. También se trata a menudo de la raíz cuadrada del poder, que comúnmente se denomina el valor de “raíz cuadrática media” (o “rms”). Para una señal\(w\) para la que existen los siguientes límites, definimos el poder por

\ [\ begin {aligned}
P_ {w}\ triangleq\ lim _ {N\ rightarrow\ infty}\ left [\ frac {1} {2 N}\ sum_ {k=- (N-1)} ^ {N-1} w^ {T} (k) w (k)\ right]\ quad\ text {(para discretos} -\ text {sistemas de tiempo})\ (15.8)\
\\ triangleq\ lim _ {L\ fila derecha\ infty}\ izquierda [\ frac {1} {2 L}\ int_ {-L} ^ {L} w^ {T} (t) w (t) d t\ derecha]\ quad\ texto {(para sistemas continuos de tiempo)}\ (15.9)
\ end {alineado}\ nonumber\]

(Las definiciones anteriores asumen que el conjunto de tiempo es todo el eje de tiempo, pero las modificaciones necesarias para otras elecciones de conjunto de tiempo deberían ser obvias). Utilizaremos el símbolo\(\rho_{w}\) para denotar el valor rms, a saber\(\sqrt{P_{w}}\). El motivo que no\(\rho_{w}\) es norma, según la definición técnica de norma, es que\(\rho_{w}=0\) no implica eso\(w = 0\).

Ejemplo 15.3

Algunas señales de potencia finita:

(a)\ (\ begin {array} {l}
\ text {Para} w (t) =1\\
\ rho_ {w} =1
\ end {array}\)

(b)\ (\ begin {array} {l}
\ text {Para} w (t) =1\ texto {tal que}\ |w_ {2}\ | <\ infty\
\ rho_ {w} =1
\ end {array}\)

(c)\ (\ begin {alineado}
&\ text {Para} w (t) =\ cos\ omega_ {0} t (\ texto {con} t\ en\ mathbb {R}\ texto {o} t\ en\ mathbb {Z})\\
&\ rho_ {w} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ end {alineado}\)

El ejemplo c) señala una diferencia importante entre las señales de potencia limitada y energía limitada: a diferencia de las señales de energía delimitadas\(\rho_{w}<\infty\), si, la señal no necesariamente disminuye a cero

Como comentario final sobre la definición del poder de una señal, elaboramos sobre la pista en el preámbulo de nuestra definición de que el límite requerido por la definición puede no existir para ciertas señales. El límite de una secuencia o función (en nuestro caso, la secuencia o función es el conjunto de valores rms de intervalo finito, considerados sobre intervalos de longitud creciente) puede no existir aunque la secuencia o función permanezca delimitada, como cuando oscila entre dos valores finitos diferentes. La siguiente señal es un ejemplo de una señal CT que está acotada pero que no tiene una potencia bien definida, porque no existe el límite requerido:

\ [w (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
1 &\ text {if} t\ in\ left [2^ {2 k}, 2^ {2 k+1}\ right],\ text {for} k=0,1,2,\ ldots\\
0 &\ text {de lo contrario}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

También tenga en cuenta que el límite deseado puede existir, pero no ser finito. Por ejemplo, el límite de una secuencia es\(+\infty\) si los valores de la secuencia permanecen por encima de cualquier número positivo finito elegido para valores suficientemente grandes del índice.

Acción: La 1-Norma

La norma 1 de una señal también se denomina a veces la “acción” de la señal, que a su vez se define como la suma (en DT) o integral (en CT) de la 1-norma del valor de la señal en cada momento, tomada a lo largo de todo el tiempo establecido:

\ [\ begin {aligned}
\ |w\ |_ {1} &\ triangleq\ text {acción de} w\\
&\ triangleq\ left [\ sum_ {k}\ |w (k)\ |_ {1}\ derecha]\ quad (\ text {para discretos} -\ text {sistemas de tiempo})\ (15.10)\\
&\ triangleq\ left [\ int\ |w (t)\ |_ {1} d t\ derecha]\ quad\ texto {(para continuo - sistemas de tiempo)}\ (15.11)
\ end {alineado}\ nonumber\]

Recordemos que\(\|w(k)\|\) para el\(n\) -vector\(w(k)\) denota la suma de magnitudes de sus componentes.

El espacio de todas las señales con 1-norma finita generalmente se denota por `\(l_{1}\)y\(\mathcal{L}_{1}\) para las señales DT y CT respectivamente. Estos forman espacios vectoriales nórdicos.

Te dejamos para construir ejemplos que muestren señales familiares de 1-norma finita e infinita.

Relaciones entre las medidas de señal

a) Si w es una secuencia de tiempo discreto, entonces

\[\|w\|_{2}<\infty \Longrightarrow\|w\|_{\infty}<\infty \ \tag{15.12}\]

pero

\[\|w\|_{2}<\infty \not \Longleftarrow\|w\|_{\infty}<\infty \ \tag{15.15}\]

b) Si\(w\) es una señal de tiempo continuo, entonces

\[\|w\|_{2}<\infty \not \Longrightarrow\|w\|_{\infty}<\infty \ \tag{15.14}\]

y

\[\|w\|_{2}<\infty \not \Longleftarrow\|w\|_{\infty}<\infty \ \tag{15.15}\]

c) Si\(\|w\|_{\infty}<\infty\), entonces (cuando\(\rho_{w}\) existe)

\[\rho_{w} \leq\|w\|_{\infty}\nonumber\]

El ítem a) es cierto debido a la relación entre energía y magnitud para señales de tiempo discreto. Dado que la energía de una señal DT es la suma de magnitudes cuadradas, si la energía está acotada, entonces la magnitud debe ser acotada. Sin embargo, lo contrario no es cierto -tomemos por ejemplo, la señal\(w(k) = 1\). Sin embargo, como indica el ítem b), la energía limitada no implica nada sobre la amplitud de magnitud para las señales de tiempo continuas.

(Se pueden afirmar muchas más relaciones de la forma anterior.)