15.2: Estabilidad de entrada y salida

En este punto, es importante establecer una conexión entre la estabilidad de un sistema y su comportamiento input-output. La noción más importante es la de `\(l_{p}\)-estabilidad (\(p\)-estabilidad).

Definición 15.1

Un sistema con señal de entrada\(u\) y señal de salida\(y\) que se obtiene\(u\) a partir de la acción de un operador arbitrario\(H\)\(y = H(u)\), por lo tanto, es `\(l_{p}\)\(p\)-estable o -estable\((p = 1, 2, \infty)\) si existe un finito\(C \in \mathbb{R}\) tal que

\[\|y\|_{p} \leq C\|u\|_{p} \ \tag{15.16}\]

para cada entrada\(u\).

Por lo tanto, un sistema\(p\) -estable se caracteriza por el requisito de que cada entrada de\(p\) norma finita da lugar a una salida\(p\) de norma finita. Para el caso\(p =\infty\), esta noción se conoce como estabilidad Bounded-Input Bounded-Output (BIBO). Veremos que la estabilidad BIBO es equivalente a\(p\) -estabilidad para sistemas de estado-espacio LTI de dimensiones finitas, pero no necesariamente en otros casos.

Ejemplo 15.4

El sistema descrito por un integrador:

\[\dot{y}=u\nonumber\]

no es estable en BIBO. Una entrada de paso se asigna a una rampa que no tiene límites. No es difícil ver que este sistema no es\(p\) -estable para ninguno\(p\).

15.3.1 Estabilidad BIBO de sistemas LTI

Un sistema LTI de tiempo continuo puede caracterizarse por su matriz de respuesta de impulso\(\mathcal{H}(\cdot)\), cuya\((i, j)\) entrada\(h_{ij} ( \cdot )\) es la respuesta de impulso desde la\(j\) entrada a la\(i\) ésima salida. En otras palabras, la relación entrada-salida viene dada por

\[y(t)=\int \mathcal{H}(t-\tau) u(\tau) d \tau\nonumber\]

Teorema 15.1

Un sistema CT LTI con\(m\) entradas,\(p\) salidas y matriz de respuesta al impulso\(\mathcal{H}(t)\) es BIBO estable si y solo si

\[\max _{1 \leq i \leq p} \sum_{j=1}^{m} \int\left|h_{i j}(t)\right| d t<\infty\nonumber\]

Prueba

La prueba de suficiencia implica un cálculo sencillo de límites. Si\(u\) es una señal de entrada que satisface\(\|u\|_{\infty}<\infty\), es decir, una señal acotada, entonces tenemos

\[y(t)=\int \mathcal{H}(t-\tau) u(\tau) d \tau\nonumber\]

y

\ [\ begin {alineado}
\ max _ {1\ leq i\ leq p}\ izquierda|y_ {i} (t)\ derecha| &=\ max _ {i}\ izquierda|\ int\ sum_ {j = 1} ^ {m} h_ {i j} (t-\ tau) u_ {j} (\ tau) d\ tau\ derecha|\\
&\ leq\ izquierda [\ max _ {i}\ int\ suma_ {j}\ izquierda|h_ {i j} (t-\ tau)\ derecha| d\ tau\ derecha]\ max _ {j}\ sup _ {t}\ izquierda|u_ {j} (t)\ derecha|
\ end {alineado}\ nonumber\]

De ello se deduce que

\[\|y\|_{\infty}=\sup _{t} \max _{i}\left|y_{i}(t)\right| \leq\left[\max _{i} \sum_{j} \int\left|h_{i j}(t)\right| d t\right]\|u\|_{\infty}<\infty\nonumber\]

Para probar lo contrario del teorema, mostramos que si la integral anterior es infinita entonces existe una entrada acotada que será mapeada a una salida no acotada. Consideremos el caso cuando\(p = m = 1\), por simplicidad notacional (en el caso general, todavía podemos estrechar el foco a una sola entrada de la matriz de respuesta al impulso). Denotar la respuesta de impulso por\(h(t)\) para este caso escalar. Si la integral

\[\int|h(t)| d t\nonumber\]

es ilimitado entonces dado cualquier (grande)\(M\) existe un intervalo de longitud\(2T\) tal que

\[\int_{-T}^{T}|h(t)| d t>M\nonumber\]

Ahora tomando la entrada\(u_{M}(t)\) como

\ [u_ {M} (t) =\ izquierda\ {\ begin {array} {ll}
\ nombreoperador {sgn} (h (-t)) & -T\ leq t\ leq T\\
0 & |t|>T
\ end {array}\ derecha. \ nonumber\]

obtenemos una salida\(y_{M}(t)\) que satisface

\ [\ start {alineado}
\ sup _ {t}\ izquierda|y_ {M} (t)\ derecha|\ geq y_ {M} (0) &=\ int_ {-T} ^ {T} h (0-\ tau) u_ {M} (\ tau) d\ tau\\
&=\ int_ {-T} ^ {T} |h (0-\ tau) | d\ tau\\
&>M
\ end {alineado}\ nonumber\]

En otras palabras, para cualquiera\(M > 0\), podemos tener una entrada cuya magnitud máxima es 1 y cuya salida correspondiente sea mayor que\(M\). Por lo tanto, no hay una constante finita\(C\) tal que la desigualdad (24.3) mantenga.

Una mayor reflexión sobre la prueba del Teorema 15.1 revela que la constante\(\|\mathcal{H}\|_{1}\) definida por

\[\|\mathcal{H}\|_{1}=\max _{i} \sum_{j} \int\left|h_{i j}(t)\right| d t\nonumber\]

es la constante más pequeña\(C\) que satisface la inequidad (24.3) cuando\(p = \infty\). Este número se llama la `\(l_{1}\)-norma de\(\mathcal{H}(t)\). En el caso escalar, este número es solo la `\(l_{1}\)-norma de\(h( \cdot )\), considerada como una señal.

El caso de tiempo discreto es bastante similar al tiempo continuo donde comenzamos con una matriz de respuesta de pulso,\(\mathcal{H}(\cdot)\), cuya\((i, j)\) entrada\(h_{ij} ( \cdot )\) es la respuesta de pulso desde la entrada\(j\) th a la\(i\) ésima salida. La relación entrada-salida viene dada por

\[y(t)=\sum_{\tau} \mathcal{H}(t-\tau) u(\tau)\nonumber\]

Teorema 15.2

Un sistema DT LTI con\(m\) entradas,\(p\) salidas y matriz de respuesta de pulso\(\mathcal{H}(t)\) es BIBO estable si y solo si

\[\max _{1 \leq i \leq p} \sum_{j=1}^{m} \sum_{t}\left|h_{i j}(t)\right|<\infty\nonumber\]

Además, la constante\(\|\mathcal{H}\|_{1}\) definida por

\[\|\mathcal{H}\|_{1}=\max _{i} \sum_{j} \sum_{t}\left|h_{i j}(t)\right|\nonumber\]

es la constante más pequeña\(C\) que satisface la inequidad (24.3) cuando\(p = \infty\). Dejamos al lector la prueba de estos hechos.

Aplicación a Modelos Estado-Espacio Finito-Dimensional

Consideremos ahora la aplicación al siguiente sistema causal CT LTI en forma estado-espacio (y por lo tanto de orden finito):

\ [\ comenzar {alineado}
\ punto {x} &=A x+b u\ (15.17)\\
y &=C x+D u\ (15.18)
\ final {alineado}\ nonumber\]

La respuesta al impulso de este sistema viene dada por

\[\mathcal{H}(t)=C e^{A t} B+D \delta(t) \text { for } t \geq 0\nonumber\]

que ha transformado a Laplace

\[H(s)=C(s I-A)^{-1} B+D\nonumber\]

El sistema (15.18) es BIBO estable si y solo si los polos de\(H(s)\) están en el medio plano izquierdo abierto. (Te dejamos la prueba a ti.) Esto a su vez se garantiza si el sistema es asintóticamente estable, es decir, si\(A\) tiene todos sus valores propios en el medio plano abierto izquierdo.

Ejemplo 15.5 La estabilidad de BIBO no implica estabilidad asintótica

Es posible que un sistema sea BIBO estable y no asintóticamente estable. Considerar el sistema

\ [\ begin {array} {l}
\ dot {x} =\ left (\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ right) x+\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1
\ end {array}\ right) u\\
y=\ left (\ begin {array} {cc}
1 & amp; -1
\ end {array}\ derecha) x
\ end {array}\ nonumber\]

Este sistema no es estable ya que\(A\) tiene un valor propio en 1. Sin embargo, gracias a una cancelación polo-cero, el único polo que\(H(s)\) tiene es at\(-1\), por lo que el sistema es BIBO estable. Tendremos mucho más que decir sobre tales cancelaciones en el contexto de la alcanzabilidad, la observabilidad y la minimalidad (el ejemplo aquí resulta ser inobservable).

La estabilidad marginal de un sistema LTI, es decir, estabilidad en el sentido de Lyapunov pero sin estabilidad asintótica, no es suficiente para garantizar la estabilidad BIBO. Por ejemplo, consideremos un integrador simple, cuya función de transferencia es\(1/s\).

Sistemas no lineales y variables en el tiempo

Aunque hay resultados que conectan la estabilidad de Lyapunov con la estabilidad de E/S para sistemas generales variables en el tiempo y no lineales, no son tan potentes como el caso lineal invariable en el tiempo. En particular, los sistemas pueden ser estables de E/S con respecto a una norma y no estables con respecto a otra. A continuación se presentan algunos ejemplos que ilustran estos hechos.

Ejemplo 15.6 Un sistema variable en el tiempo

Considere el sistema DT variable en el tiempo dado por:

\[y(t)=H(u)(t)=u\tag{0}\]

\(H\)es obviamente 1-estable con ganancia menor que 1. Sin embargo, no es 2-estable.

Ejemplo 15.7 Un sistema no lineal

Considere el sistema no lineal dado por:

\[\dot{x}=-x+e^{x} u, \quad y=x\nonumber\]

El sistema no forzado es lineal y asintóticamente estable. Por otro lado el sistema no es estable de E/S. Para ver esto, considere el insumo\(u(t) = 1\). Ya que siempre\(e^{x}>x, \dot{x}\) es estrictamente positivo, lo que indica que\(x\) es estrictamente creciente. Por lo tanto, para una entrada acotada, la salida no está delimitada.

15.3.2 p -Estabilidad de Sistemas LTI (opcional)

En esta sección continuaremos nuestro análisis de la p-estabilidad de los sistemas descritos a través de las relaciones insumo-producto. Comencemos con el caso de tiempo continuo y limitémonos a una sola entrada y salida única. La entrada\(u(t)\) está relacionada con la salida\(y(t)\) por

\[y(t)=\int h(t-\tau) u(\tau) d \tau\nonumber\]

donde\(h(t)\) está la respuesta al impulso. El siguiente teorema muestra que la constante\(C\) en 24.3 siempre está delimitada arriba por\(\|h\|_{1}\).

Teorema 15.3

Si\(\|h\|_{1}<\infty\) y\(\|u\|_{p}<\infty\) entonces\(\|y\|_{p}<\infty\) y además

\[\|y\|_{p} \leq\|h\|_{1}\|u\|_{p}\nonumber\]

Prueba

En el Teorema 15.1 ya hemos establecido este resultado para\(p = \infty\). En lo que sigue\(p = 1, 2\). La salida\(y(t)\) satisface

\[|y(t)|^{p}=|(h * u)(t)|^{p}=\left|\int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau) u(\tau) d \tau\right|^{p} \leq\left(\int_{-\infty}^{\infty}|h(t-\tau)||u(\tau)| d \tau\right)^{p}\nonumber\]

por lo tanto,

\[\|h * u\|_{p}^{p}=\int_{-\infty}^{\infty}|(h * u)(t)|^{p} d t \leq \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}|h(t-\tau)||u(\tau)| d \tau\right)^{p} d t\nonumber\]

A continuación analizamos la integral interna

\ [\ begin {alineado}
\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |h (t-\ tau) ||u (\ tau) | d\ tau &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |h (t-\ tau) |^ {1/q} |h (t-\ tau) |^ {1/p} |u (\ tau) | d\ tau\\
&\ leq\ izquierda (\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |h (t-\ tau) | d\ tau\ derecha) ^ {1/q}\ izquierda (\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |h (t-\ tau) |||u (\ tau) |^ {p} d\ tau\ derecha) ^ {1/p}
\ final {alineado}\ nonumber\]

donde la última desigualdad se deriva de las desigualdades de Minkowski, y\(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\). De ahí que,

\ [\ begin {alineado}
\ |h * u\ |_ {p} ^ {p} &\ leq\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ izquierda (\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |h (t-\ tau) | d\ tau\ derecha) ^ {p/q}\ izquierda (\ int_ {-\ infty} {^\ infty} |h (t-\ tau) ||u (\ tau) |^ {p} d\ tau\ derecha) d t\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ izquierda (\ |h\ |_ {1}\ derecha) ^ {p/q}\ izquierda (\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} |h (t-\ tau) |||u (\ tau) |^ {p} d\ tau\ derecha) d t\\
&=\ |h\ |_ {1} ^ {p/q}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |h (t-\ tau) ||u (\ tau) |^ {p} d\ tau d t\\
&=\ |h\ |_ {1} ^ {p/q}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |u (\ tau) |^ {p}\ left (\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |h (t-\ tau) | d t\ derecha) d\ tau\\
&=\ |h\ |_ {1} ^ {p/q+1}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |u (\ tau) |^ {p} d\ tau\\
&=\ |h\ |_ {1} ^ {p}\ |u\ |_ {p} ^ {p} ^ {p}
\ fin {alineado}\ umber\]

Por lo tanto

\[\|h * u\|_{p} \leq\|h\|_{1}\|u\|_{p}\nonumber\]

Recordemos que cuando\(p=\infty,\|h\|_{1}\) fue la constante más pequeña para la que la desigualdad\(\|y\|_{p} \leq C\|u\|_{p}\) para todos\(u\). Este no es el caso\(p = 2\), y veremos más adelante que se puede encontrar una constante menor. Vamos a profundizar sobre estos temas cuando discutamos las normas de los sistemas más adelante en el curso. El caso de tiempo discreto sigue exactamente de la misma manera.

Ejemplo 15.8

Para un modelo de estado-espacio finito dimensional, un sistema H es p -estable si y solo si todos los polos de H (s) están en el LHP. Esto coincide con la estabilidad BIBO.