15.3: Ejercicios

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Ejercicio 15.1 Sistemas no causales

En este capítulo, solo nos enfocamos en operadores causales, aunque los resultados derivados fueron más generales. Como ejemplo, considere un sistema CT LTI particular con una transformada bilateral de Laplace:

\[G(s)=\frac{s+2}{(s-2)(s+1)}\nonumber\]

a) Verificar la estabilidad p y causalidad del sistema en los siguientes casos:

i) el ROC (Región de Convergencia) es\(R_{1}=\{s \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(s)<-1\}\) donde\(Re(s)\) denota la parte real de s;

ii) el ROC es\(R_{2}=\{s \in \mathbb{C} \mid-1<\operatorname{Re}(s)<2\}\)

(iii) el ROC es\(R_{3}=\{s \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(s)>2\}\)

(b) En los casos en que el sistema no sea p-estable para\(p = 2\) y\(p = \infty\), encontrar una entrada acotada que haga que la salida no sea acotada, es decir, encontrar una entrada\(u \in L_{p}\) que produzca una salida\(y \notin L_{p}\), para\(p=2, \infty\).

Ejercicio 15.2

En sistemas no lineales,\(p\) la estabilidad puede satisfacerse solo en una región local alrededor de cero. En ese caso, un sistema será localmente\(p\) -estable si:

\[\|G u\|_{p} \leq C\|u\|_{p}, \quad \text { for all } u \text { with }\|u\|_{p} \leq \delta\nonumber\]

Considere el sistema:

\ [\ begin {array} {l}
\ punto {x} =A x+b u\\
z=C x+d u\\
y=g (y)
\ end {array}\ nonumber\]

Donde\(g\) es una función continua en\([-T, T ]\). ¿Cuál de los siguientes sistemas es\(p\) -estable, localmente\(p\) -estable o inestable para\(p \geq 1\):

a)\(g(x)=\cos x\)

b)\(g(x)=\sin x\)

c)\(g(x)=\operatorname{Sat}(x)\) donde

\ [\ nombreoperador {sáb} (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
x & |x|\ leq 1\\
1 & |x|\ geq 1
\ end {array}\ derecho. \ nonumber\]