20.3: Representación multiplicativa de la incertidumbre

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Otro medio sencillo de representar la incertidumbre que tiene algunas propiedades analíticas agradables es la perturbación multiplicativa, que se puede escribir en la forma

\[\Omega=\left\{P \mid P=P_{0}(I+W \Delta),\|\Delta\|_{\infty} \leq 1\right\} \ \tag{20.5}\]

Screen Shot 2020-08-05 en 1.16.58 AM.png

Figura 20.2: Representación de la incertidumbre como perturbación multiplicativa en la entrada de la planta.

Una alternativa a esta representación del lado de entrada de la incertidumbre es la siguiente representación del lado de salida:

\[\Omega=\left\{P \mid P=(I+W \Delta) P_{0},\|\Delta\|_{\infty} \leq 1\right\}\nonumber\]

Tanto en los casos multiplicativos anteriores,\(W\) como\(\Delta\) son estables. Al igual que con la representación aditiva, en los conjuntos anteriores se incluyen modelos de orden arbitrariamente grande. Aún se pueden imaginar otras variaciones; en el caso de los pesos matriciales, por ejemplo, el término\(W \Delta\) puede ser sustituido por\(W_{1} \Delta W_{2}\).

La precaución mencionada en relación con la perturbación aditiva vale la pena repetir aquí: las caracterizaciones multiplicativas anteriores no deben interpretarse como diciendo que la planta real es la combinación en cascada del sistema nominal\(P_{0}\) y un sistema\(I + W \Delta\). Más bien, la planta real debe considerarse como una realización mínima de la función de transferencia\(P (s)\), que pasa a estar escrita en la forma multiplicativa.

Cualquier polo inestable de\(P\) son polos de la planta nominal, pero no necesariamente al revés, porque los polos inestables de\(P_{0}\) pueden ser cancelados por ceros de\(I + W \Delta\). En otras palabras, se permite que la planta real tenga menos polos inestables que la planta nominal, pero todos sus polos inestables están confinados a las mismas ubicaciones que en el modelo nominal. En vista de la cautela del párrafo anterior, tales cancelaciones no corresponden a modos ocultos inestables, por lo que no son motivo de preocupación.