20.8: Apéndice

La necesidad de la condición de ganancia pequeña para una estabilidad robusta puede demostrarse mostrando que si\(\sigma_{\max }\left[M\left(j \omega_{0}\right)\right]>1\) para algunos\(\omega_{0}\), podemos construir una norma menor que una,\(\Delta\) de tal manera que el mapa de bucle cerrado resultante\(G_{zv}\) sea inestable. Esto se hace de la siguiente manera. Tome el valor singular descomposición de\(M\left(j \omega_{0}\right)\),

\ [M\ izquierda (j\ omega_ {0}\ derecha) =U\ Sigma V^ {\ prime} =U\ izquierda [\ begin {array} {ccc}
\ sigma_ {1} &\\
&\ ddots &\\\
& &\ sigma_ {n}
\ end {array}\ derecha] V^ {\ prime}\ etiqueta {20.17}\]

Ya que\(\sigma_{\max }\left[M\left(j \omega_{0}\right)\right]>1, \sigma_{1}>1\). Entonces\(\Delta\left(j \omega_{0}\right)\) se puede construir como:

\ [\ Delta\ left (j\ omega_ {0}\ derecha) =V\ izquierda [\ begin {array} {cccc}
1/\ sigma_ {1} & &\\
& 0 &\\
& &\ ddots\\
& & & & & 0
\ end {array}\ derecha] U^ {\ prime}\ etiqueta {20.18}\]

Claramente,\(\sigma_{\max } \Delta\left(j \omega_{0}\right)<1\). Entonces tenemos

\ [(I-M\ Delta) ^ {-1}\ izquierda (j\ omega_ {0}\ derecha) = I-U\ izquierda [\ begin {array} {cccc}
\ sigma_ {1} &\\
&\ sigma_ {2} &\\
& &\ ddots\\
& & &\ sigma_ {n}
\ end {array}\ derecha]\ quad V^ {prime} V\ left [\ begin {array} {cccc }
1/\ sigma_ {1} & & & &\\
& 0 & & &\\
& &\ ddots &\\
& & & & 0
\ end {array}\ derecha] U^ {\ prime}\

=U\ left [I-\ left [\ begin {array} {cccc}
1 & &\\\
& 0 &\\
& &\ ddots &\\
& & & & 0
\ end {array}\ derecha]\ derecha] U^ {\ prime}

=U\ left [\ begin {array} {cccc}
0 & & & &\\
& 1 & &\\
& &\ ddots &\\\
& & & & & 1
\ end {array}\ derecha] U^ {\ prime}\ label {20.19}\]

que es singular. Sólo queda un problema, que es que\(\Delta\left(s\right)\) debe ser legítimo como función de transferencia de un sistema estable, evaluando al valor adecuado en\(s=j \omega_{0}\), y teniendo su valor singular máximo sobre todo\(\omega\) delimitado por debajo de 1. El valor de la perturbación desestabilizadora en\(\omega_{0}\) viene dado por

\[\Delta_{0}\left(j \omega_{0}\right)=\frac{1}{\sigma_{\max }\left(M\left(j \omega_{0}\right)\right)} v_{1} u_{1}^{\prime} \nonumber\]

Escribe los vectores\(v_{1}\) y\(u_{1}^{\prime}\) como

\ [v_ {1} =\ izquierda [\ begin {array} {c}
\ pm\ izquierda|a_ {1}\ derecha| e^ {j\ theta_ {1}}\
\\ pm\ izquierda|a_ {2}\ derecha| e^ {j\ theta_ {2}}
\\\ vdots
\\ pm\ izquierda|a_ {n} derecha| e^ {j\ theta_ {n}}
\ end {array}\ derecha],\ quad u_ {1} ^ {\ prime} =\ left [\ begin {array} {ccc}
\ pm\ izquierda|b_ {1}\ derecha| e^ {j\ phi_ {1}} &\ pm\ izquierda|b_ {2}\ derecha| e^ {j\ phi_ {2}} &\ cdots &\ pm\ izquierda|b_ {n}\ derecha| e^ {j\ phi_ {n}}
\ end {array}\ derecha]\ etiqueta {20.20}\]

donde\(\theta_{i}\) y\(\phi_{i}\) pertenecen al intervalo [0,\(pi\)). Tenga en cuenta que usamos\(\pm\) en la representación de los vectores\(v_{1}\) y\(u_{1}^{\prime}\) para que podamos restringir los ángulos\(\theta_{i}\) y\(\phi_{i}\) al intervalo [0,\(pi\)). Ahora podemos elegir las constantes no negativas de\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} \text { and } \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\) tal manera que la fase de la función\(\frac{s-\alpha_{i}}{s+\alpha_{i}}\) at\(s=j \omega_{0}\) es\(\theta_{i}\), y la fase de la función\(\frac{s-\beta_{i}}{s+\beta_{i}}\) at\(s=j \omega_{0}\) es\(\phi_{i}\). Ahora lo desestabilizador\(\Delta\left(s\right)\) viene dado por

\[\Delta(s)=\frac{1}{\sigma_{\max }\left(M\left(j \omega_{0}\right)\right)} g(s) h^{T}(s)\]

donde

\ [g (s) =\ left [\ begin {array} {c}
\ pm\ izquierda|a_ {1}\ derecha|\ frac {s-\ alpha_ {1}} {s+\ alpha_ {n}}\
\ pm\ izquierda|a_ {2}\ derecha|\ frac {s-\ alpha_ {2}} {s+\ alpha_ {2}\\
\ vdots\\\ pm
\ izquierda|a_ {n}\ derecha|\ frac {s-\ alfa_ {n}} {s+\ alpha_ {n}}
\ end {array}\ derecha],\ quad h (s) =\ left [\ begin {array} {c}
\ pm\ izquierda|b_ {1}\ derecha|\ frac {s-\ beta_ {1}} {s+\ beta_ {1}}\\ pm
\ izquierda|b_ {2}\ derecha|\ frac {s-\ beta_ {2}} {s+\ beta_ {2}}}\\
\ vdots\\
\ pm\ izquierda|b_ {n}\ derecha|\ frac {s-\ beta_ {n}} {s+\ beta_ {n}}
\ end {array}\ derecha]\]