24.3: Análisis de Tiempo Discreto

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Comenzamos con la descripción del sistema en el espacio de estados:

Supongamos que se nos da u (t) e y (t) para 0 ≡ t ≡ T. Podemos ampliar (24.1) de la siguiente manera:

Ahora se conoce el segundo término a la derecha | la respuesta forzada |, así podemos restarlo del vector de salidas medidas para obtener

donde hemos hecho las de�niciones obvias para y y la matriz de observabilidad T -step OT. El tema de la observabilidad sobre T pasos se reduce entonces a nuestra capacidad de determinar x (0) únicamente a partir del conocimiento de y. La ecuación (24.3) muestra que solo necesitamos verificar la observabilidad para u ≡ 0≡ el e�ect de una entrada distinta de cero es solo para cambiar lo que es y, pero en cualquier caso y es un vector conocido. El siguiente resultado es una consecuencia inmediata de (24.3).

Las ecuaciones (24.4) y (24.5) conducen al siguiente teorema

Nótese que en el contexto de la alcanzabilidad, fue el conjunto de estados alcanzables los que formaron un subespacio, mientras que ahora es el conjunto de estados no observables el que forma un subespacio. Denotamos este subespacio por O (C≡ A) o simplemente O. Es evidente que

donde R (A0 ≡ C0) es el subespacio alcanzable que estaría asociado con el sistema

(cuyo vector de estado es d y entrada es e). Se dice que la alcanzabilidad y la inobservabilidad son conceptos duales, a causa de las conexiones anteriores.

24.3.1 Interpretación modal de la inobservabilidad

Comenzamos con la representación en el dominio del tiempo de la salida para u (k) ≡ 0. Si A es diagonalizable, esto rinde

Supongamos que existe un vector propio vi≡ ╳ 1 ≡ i≡ ╳ n, tal que Cvi≡ ≡ 0. ¿Hay un estado inicial tal que y (k) ≡ 0 ≡ 8 k ≡ 0╳ Si elegimos x (0) ≡ vi≡, entonces, refiriéndonos a (24.7), vemos que

Pero cuando i ≡ i≡ in (24.7), Cvi≡ ≡ 0. De ahí y (k) ≡ 0≡ 8 k ≡ 0.

24.3.2 La Observabilidad Gramian

Comenzamos por de�ning la observabilidad k-step Gramian como

El espacio inobservable sobre k pasos es evidentemente el espacio nulo de Qk. El sistema es observable si y solo si rank (Qn) ≡ n. Si el sistema es estable, entonces podemos de�ne la observabilidad Gramian como

Q satisface una ecuación de Lyapunov que es bastante similar a la alcanabilidad gramiana, i.e.,