4.5: Circuitos resistivos simples

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Los únicos circuitos que estudiaremos en este curso son circuitos resistivos simples que satisfacen el modelo de circuito agrupado. Cursos posteriores, especialmente ES 203 - Sistemas Eléctricos, te introducirán en los circuitos más complicados y técnicas de solución más completas de la teoría de circuitos.

Los circuitos resistivos simples están construidos con resistencias y fuentes de corriente y voltaje. Una fuente de corriente es un elemento de circuito que mantiene una corriente especificada independientemente del cambio de voltaje a través de sus terminales. Una fuente de voltaje es un elemento de circuito que mantiene una diferencia de voltaje especificada a través de sus terminales independientemente de la corriente que fluye a través del elemento. La unión donde se encuentran dos o más elementos del circuito se denomina nodo. El voltaje en un nodo se llama voltaje de nodo.

El enfoque de fuerza bruta para resolver un circuito resistivo simple consiste en identificar cada nodo como un sistema y aplicar la conservación de carga a cada sistema. En el lenguaje de la teoría de circuitos, diríamos “aplicar la ley actual de Kirchhoff a cada nodo”. Para\(N\) los nodos, esto debería proporcionar ecuaciones\(N\) independientes para resolver\(N\) incógnitas. Si se requiere información adicional, puede introducir voltajes de nodo usando la Ley de Ohm para relacionar la corriente de derivación a través de una resistencia con la resistencia y las diferencias en los voltajes de nodo a través de la resistencia. En ocasiones este proceso se puede acortar aplicando la conservación de carga a sistemas más grandes que incluyen varios nodos. Sin embargo, no hay un solo voltaje de nodo para el sistema.

Aquí se da un algoritmo simple para resolver circuitos resistivos simples que satisfacen el modelo de circuito agrupado. Aunque no siempre es el enfoque más rápido, casi siempre te llevará a una respuesta por la fuerza bruta. De hecho, aprenderás otros métodos más adelante. (En cursos posteriores sobre análisis de circuitos aprenderás que este enfoque se llama análisis ganglionar.) Restringiremos nuestra atención aquí a circuitos resistivos simples compuestos por fuentes de corriente, fuentes de voltaje y resistencias. El siguiente algoritmo hace uso de la ley actual de Kirchhoff (conservación de carga para circuitos agrupados) y la ley de Ohm.

Resolver circuitos resistivos simples usando la conservación de carga y la ley de Ohm

Identificar y etiquetar todos los nodos y corrientes de ramificación. Los nodos tienen una sola tensión y al menos una entrada de corriente y una salida de corriente. Asegúrese de indicar la dirección de la corriente en cada rama del circuito. Las ramas conectan nodos y para nuestros fines una rama consistirá en una resistencia, una fuente de voltaje o una fuente de corriente.
Aplicar conservación de carga (ley vigente de Kirchhoff) a cada nodo para relacionar las corrientes de rama que entran y salen del nodo. (Recordemos que por definición, un nodo no puede acumular carga.) La aplicación de la ley actual de Kirchhoff a un circuito con\(N\) nodos resulta en ecuaciones como máximo\(N\) independientes que relacionan las corrientes de ramificación en el circuito. Si todo el circuito puede incluirse en un sistema sin carga que fluya a través del límite del sistema, solo se pueden obtener ecuaciones\(N-1\) independientes aplicando KCL a los\(N\) nodos.
Aplicar la relación constitutiva apropiada para describir el comportamiento de cada rama.
- Resistencias - Relacionar la caída de voltaje en cada resistencia con la corriente que fluye a través de la resistencia usando el modelo de resistencia de Ohm. Es fundamental que su caída de voltaje se corresponda con la dirección asumida de la corriente en una resistencia. Por definición,\(i = \left( V_{in} - V_{out} \right) / R\) donde la corriente fluye hacia la resistencia a una tensión\(V_{in}\) y deja la resistencia a una tensión\(V_{out}\).
- Fuentes de voltaje - Diferencia de voltaje especificada sin restricción en la dirección o magnitud de la corriente de derivación
- Fuente de corriente: dirección y magnitud de la corriente especificadas para la rama sin restricción en la diferencia de voltaje a través de la rama.
  (Tenga en cuenta que aunque llamemos a estas fuentes, no están generando carga dentro de nuestro sistema. Sería más correcto pensar en las fuentes de corriente y voltaje como motores de carga sin almacenamiento de carga.)
Seleccione un nodo como punto cero y establezca arbitrariamente su valor de voltaje en cero. Este es típicamente el nodo conectado a tierra. (Para nuestros propósitos, asumiremos que no hay corriente que fluya dentro o fuera del suelo. La existencia de bucles de tierra con flujo de corriente distinta de cero a menudo ocurre en sistemas reales; sin embargo, asumiremos que nuestros circuitos están correctamente conectados a tierra). Todos los voltajes de los nodos se definen entonces con respecto a este nodo cero.
Comprueba si tienes ecuaciones suficientes para manejar el número de incógnitas. Si ha seguido este procedimiento un sistema con\(N\) nodos y\(B\) ramas tendrá como máximo\(N+B\) incógnitas: voltajes de\(N\) nodo y corrientes de\(B\) derivación. El número real de incógnitas se reduce por los voltajes conocidos (incluida la tierra) y las corrientes especificadas para el circuito.
Resuelve por las incógnitas. (El álgebra matricial puede ser un ahorro de tiempo real para problemas grandes especialmente donde hay un patrón simple para configurar las ecuaciones. Para sistemas pequeños de ecuaciones, puede ser más rápido simplemente configurar las ecuaciones y dejar que MAPLE o Mathematica las resuelvan directamente. El método preferido generalmente depende de su familiaridad con el software y de la facilidad con la que puede configurar las matrices).
Consulta tus respuestas. Un enfoque es examinar un sistema que contiene varios nodos y luego verificar para ver que se satisface la conservación de la carga.

El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar esta técnica a un circuito resistivo simple que incluye tanto una fuente de voltaje como una fuente de corriente.

Ejemplo — Circuito Simple #1

Encuentra las corrientes de rama y los voltajes de nodo desconocidos en el circuito que se muestra en la figura.

Un circuito con dos sub-bucles, que contiene un total de 5 resistencias y una batería de 50-V. Se da un valor y dirección de la corriente a lo largo de uno de los límites exteriores del circuito.

Figura\(\PageIndex{1}\): Diagrama de circuito para un circuito con 6 nodos, 1 batería, 5 resistencias y una corriente de derivación conocida.

Solución

Estrategia\(\rightarrow\) Esto es claramente un problema de circuito y requerirá la aplicación de la conservación de la carga junto con relaciones constitutivas adecuadas.

El primer paso es etiquetar y localizar todos los nodos y sucursales. Esto da

6 nodos:\(V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}, V_{5,} V_{6}\)

7 sucursales:\(i_{a}, i_{b}, i_{c}, i_{d}, i_{e}, i_{f}, i_{g}\)

Diagrama de circuito desde arriba con todos los nodos y corrientes de rama marcados y etiquetados. Los nodos se numeran en orden creciente, en sentido horario desde la esquina superior izquierda. Se supone que las corrientes fluyen en sentido horario alrededor del bucle izquierdo del circuito y en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del bucle derecho.

Figura\(\PageIndex{2}\): Diagrama de circuito desde arriba con todos los nodos y corrientes de ramificación marcados y etiquetados.

Escribiendo la conservación de carga para cada nodo suponiendo que no hay acumulación de carga (suposición de circuito agrupado), obtenemos seis ecuaciones que relacionan las corrientes:

\[ \begin{align*} &\text{Node 1:} \quad 0 =i_{g} - i_{a} \quad\quad &\text{Node 4:} \quad 0=i_{d}-i_{c} \\ &\text{Node 2:} \quad 0=i_{a}+i_{b}-i_{e} \quad\quad\quad\quad &\text{Node 5:} \quad 0=i_{e}-i_{f}-i_{e} \\ &\text{Node 3:} \quad 0=i_{c}-i_{d} \quad \quad &\text{Node 6:} \quad 0=i_{f}-i_{g} \end{align*} \nonumber \]

Tenga en cuenta que hemos asumido que no hay corriente en la conexión a tierra. También tenga en cuenta que sólo cinco de estas seis ecuaciones son ecuaciones independientes.

Ahora podemos escribir las ecuaciones de rama usando las relaciones constitutivas apropiadas:

\[ \begin{align*} & \text {Branch a: } \quad \left(V_{1}-V_{2}\right)=(3 \ \Omega) i_{a} \quad\quad \text { Branch e: } \quad\left(V_{2}-V_{5}\right)=(5 \ \Omega) i_{e} \\ & \text {Branch b: } \quad \left(V_{3}-V_{2}\right)=(2 \ \Omega) i_{b} \quad\quad \text { Branch f: } \quad \left(V_{5}-V_{6}\right)=(1 \ \Omega) i_{f} \\ & \text {Branch c: } \quad \left(V_{4}-V_{3}\right)=(1 \ \Omega) i_{c} \quad\quad \text { Branch g: } \quad i_{g}=4 \mathrm{~A} \\ & \text {Branch d: } \quad V_{5}-V_{4}=50 \text { volts } \end{align*} \nonumber \]

Las siete ecuaciones de rama son independientes.

Ahora tenemos 13 incógnitas y 12 ecuaciones (5 nodos y 7 ramas). La ecuación restante proviene de asignar la tensión de tierra al nodo 6.

\[ V_6 = 0 \nonumber \]

Ahora deberíamos tener información suficiente para resolver los voltajes y corrientes restantes. Esto se hace más fácilmente usando un paquete de software, por ejemplo MAPLE™ o EES.

Solución MAPLE:

Hay 6 nodos en este problema (numerados 1,2,3,4,5,6). Si escribimos conservación de carga para cada nodo obtendremos 6 ecuaciones que relacionan las 6 corrientes desconocidas en el circuito:

Código para configurar ecuaciones que relacionen la carga por cada nodo con las diversas corrientes en el circuito, utilizando variables.

Figura\(\PageIndex{3}\): Código en MAPLE para configurar ecuaciones que relacionen la conservación de carga para cada nodo con las corrientes del circuito.

Ahora escribiendo las 7 ecuaciones de rama:

Código para describir la tensión de derivación para cada rama del circuito utilizando relaciones constitutivas, en términos de variables para todos los valores desconocidos.

Figura\(\PageIndex{4}\): Código en MAPLE para configurar ecuaciones para caída de voltaje en cada rama del circuito, con base en relaciones constitutivas.

Hay 7 corrientes ramificadas y voltajes de 6 nodos. Desafortunadamente solo 5 de las 6 relaciones de conservación de carga son independientes, por lo que necesitamos una restricción adicional. La restricción restante se suministra estableciendo un nodo de tierra con potencial cero. Basado en el esquema del circuito, este nodo probablemente debería ser el Nodo 6.

Código asignando el valor de 0 a la variable para voltaje en el nodo 6.

Figura\(\PageIndex{5}\): Código en MAPLE para asignar un valor de 0 al nodo de tierra (nodo 6).

Ahora podemos recolectar 12 ecuaciones independientes para resolver para las 6 corrientes y las 6 tensiones.

Código para resolver para todos los voltajes de nodo y corrientes de ramificación a partir de las ecuaciones establecidas anteriormente, utilizando las ecuaciones para los nodos 1-5, y los valores numéricos devueltos por el programa para cada una de estas variables.

Figura\(\PageIndex{6}\): Código a resolver para las variables problemáticas, utilizando 5 de las ecuaciones de conservación de carga, y las soluciones numéricas devueltas por el programa.

Para comprobar nuestras soluciones, probemos algunas variaciones y veamos qué pasa. Si alguna 5 de las ecuaciones de conservación de carga funcionan entonces deberíamos ser capaces de resolver con un conjunto diferente. Intentemos por un par de casos. Primero, intentemos usar el Nodo 6 en lugar del Nodo 1:

Código para resolver para todos los voltajes de nodo y corrientes de ramificación a partir de las ecuaciones establecidas anteriormente, utilizando las ecuaciones para los nodos 2-6, y los valores numéricos devueltos por el programa para cada una de estas variables.

Figura\(\PageIndex{7}\): Código a resolver para las variables problemáticas, utilizando otro conjunto de 5 ecuaciones de conservación de carga, y las soluciones numéricas devueltas por el programa.

Ahora intentemos usar todos los nodos excepto el Nodo 5:

Código para resolver para todos los voltajes de nodo y corrientes de ramificación a partir de las ecuaciones establecidas anteriormente, utilizando las ecuaciones para los nodos 1, 2, 3, 4 y 6, y los valores numéricos devueltos por el programa para cada una de estas variables.

Figura\(\PageIndex{8}\): Código a resolver para las variables problemáticas, utilizando otro conjunto de 5 ecuaciones de conservación de carga, y las soluciones numéricas devueltas por el programa.

Se ve bien. Ahora veamos qué pasa si no incluimos la condición GROUND y no ponemos\(v_6\) en la lista de variables:

Se repite el código de la figura anterior, salvo la omisión de v6 de la lista de variables y la omisión de GROUND de la lista de condiciones. Las soluciones devueltas por el programa son numéricas para las corrientes de ramificación pero son en términos de v6 para todos los voltajes de los nodos.

Figura\(\PageIndex{9}\): Código de la Figura\(\PageIndex{8}\) con\(v_6\) omitido de la lista de variables y la condición GROUND omitida de la lista de condiciones, y las soluciones devueltas por el programa. Todas las soluciones de voltaje están en términos de\(v_6\).

Ahora intentemos y veamos qué pasa si simplemente accidentalmente no incluimos la condición GROUND pero sí incluimos v6 en la lista de variables:

Código de la Figura 8 anterior con la condición GROUND omitida de la lista de condiciones, y las soluciones devueltas por el programa. Todas las soluciones de corrientes de ramificación son numéricas, y todas las tensiones de los nodos están en términos de v6.

Figura\(\PageIndex{10}\): Código de la Figura\(\PageIndex{8}\) con la condición GROUND omitida de la lista de condiciones, y las soluciones devueltas por el programa. Todas las soluciones de voltaje están en términos de\(v_6\).

Observe cómo todos los voltajes incluyen un\(v_6\) componente. ¿Qué significa esto?

Por último, ¿qué pasa si simplemente dejamos fuera la lista de variables?

Código de la Figura 8 anterior con la lista de variables eliminada, y las soluciones numéricas devueltas por el programa.

Figura\(\PageIndex{11}\): Código de la Figura\(\PageIndex{8}\) con la lista de variables eliminada, y las soluciones numéricas devueltas por el programa.

Mismas respuestas, solo en un orden diferente.