3.8: Teorema del límite central

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Page ID: 84225

Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Una propiedad bastante sorprendente de las variables aleatorias se captura en el teorema del límite central; que una suma de variables aleatorias tomadas de distribuciones, incluso muchas distribuciones diferentes, se acerca a una sola distribución gaussiana a medida que el número de muestras aumenta. Para dejar esto claro, vamos a\(x_1\) venir de una distribución con media\(\bar{x}_1\) y varianza\(\sigma_1 ^2\), y así sucesivamente hasta\(x_n\), dónde\(n\) está el número de muestras. Vamos\(y = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \). Como\(n \rightarrow \infty\),

\ begin {align}\ subrayado {p} (y) &= N (\ bar {y},\ sigma_y ^2),\,\,\ textrm {con}\\ [4pt]\ bar {y} &=\ sum_ {i=1} ^n\ bar {x} _i\\ [4pt]\ sigma_y ^2 &=\ sum_ {i=1} ^n\ sigma_i ^2. \ end {align}

Esto es fácil de verificar numéricamente, y está en el corazón de las técnicas de simulación de Montecarlo. Como cuestión práctica en el uso del teorema, es importante recordar que como el número de ensayos va al infinito también lo hará la varianza, aunque la media no lo haga (por ejemplo, si las medias subyacentes son todas cero). Tomar más muestras no significa que la varianza de la suma disminuya, o incluso se acerque a algún valor particular.