7.1: Introducción a la Optimización

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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El ingeniero se enfrenta continuamente a decisiones no triviales, y discernir lo mejor entre las alternativas es una de las tareas más útiles y generales que uno puede dominar. La optimización existe porque en casi todos los esfuerzos, uno se enfrenta a compensaciones. Aquí hay algunos ejemplos:

Contribuir al ahorro versus lograr el disfrute de las compras realizadas ahora;
Comprar una bicicleta costosa de uno de los muchos fabricantes: se enfrenta a opciones de accesorios, peso, estilo, garantía, rendimiento, reputación, etc.
Escribir un código muy simple que pueda resolver un problema en particular versus desarrollar un producto más profesional y de uso general;
Tamaño de la columna para soportar una carga de techo;
Qué tan rápido conducir en la carretera;
Diseño de mamparas de resistencia dentro de un conjunto de ala de avión

El campo e de optimización es muy amplio y rico, con literalmente cientos de diferentes clases de problemas, y muchos más métodos de solución. Central para el sujeto es el concepto del espacio de parámetros denotado como\(X\), que describe la región donde\(x\) pueden estar las decisiones específicas. Por ejemplo, los modelos aceptables de un producto fuera de la plataforma podrían simplemente indexarse como\(x_i\). \(x\)también puede ser un vector de variables específicas o continuas, o una mezcla de las dos. También es crítico el concepto de un costo\(f(x)\) que se asocia a un conjunto de parámetros en particular\(x\). Podemos decir que\(f\) se minimizará en el conjunto óptimo de parámetros\(x^*\):

\[ f(x^*) \, = \, \min_{x \epsilon X} f(x). \]Desarrollaremos en esta sección algunos métodos para parámetros continuos y otros para parámetros discretos. Consideraremos algunos conceptos también desde la planeación y optimización multiobjetivo, por ejemplo, el caso donde hay más de una función de costo.