4.3: Teorema de Varignon
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El teorema de Varignon es un método para calcular momentos desarrollado en 1687 por el matemático francés Pierre Varignon (1654 — 1722). Afirma que la suma de los momentos de varias fuerzas concurrentes alrededor de un punto es igual al momento de la resultante de esas fuerzas, o alternativamente, el momento de una fuerza alrededor de un punto es igual a la suma de los momentos de sus componentes.
Esto significa que puedes encontrar el momento de una fuerza dividiéndola primero en componentes, evaluando los momentos escalares de los componentes individuales y finalmente sumarlos para encontrar el momento neto sobre el punto. El momento escalar de un componente es la magnitud del componente por la distancia perpendicular al centro del momento por la definición de un momento (4.2.1), con un signo positivo o negativo asignado para indicar su dirección.
Esto puede sonar como más trabajo que solo encontrar el momento de la fuerza original, pero en la práctica suele ser más fácil. Considera lo interactivo a la derecha. Si rompemos la fuerza en componentes a lo largo del mango de la llave y perpendiculares a ella, la suma de los momentos de estos componentes es
\ begin {ecuación} M = F_\ perp d\ text {,}\ label {moment-fperp}\ tag {4.3.1}\ end {ecuación}
donde\(d\) es la longitud del mango, y\(F_\perp\) es el componente de\(F\) perpendicular al mango. Aquí, la contribución del componente paralelo a la suma es cero, ya que su línea de acción pasa por el centro del momento\(A\text{.}\)
Este interactivo muestra la fuerza aplicada a la llave rota en componentes perpendiculares y paralelos al mango. El momento es el componente perpendicular multiplicado por la longitud del mango.
Figura 4.3.1. Teorema de Verignon:\(M = F_\perp d\)
Este resultado concuerda con nuestra comprensión intuitiva de cómo funciona una llave; el mayor torque se desarrolla cuando la fuerza se aplica en ángulo recto con el mango.
Las ecuaciones (4.2.1) y (4.3.1) no sólo producen el mismo resultado, son completamente idénticas. Si la longitud del mango es\(d\) y el ángulo entre la fuerza\(\vec{F}\) y el mango es\(\theta\text{,}\) entonces\(d_\perp = d \sin \theta\) y\(F_\perp = F \sin \theta\text{.}\) Usando cualquiera de las ecuaciones para calcular el momento da
\ begin {ecuación} M = F\ d\\ sin\ theta\ texto {.} \ label {moment-general}\ tag {4.3.2}\ end {ecuación}
Componentes rectangulares
El teorema de Verignon es particularmente conveniente para usar el diagrama que proporciona dimensiones horizontales y verticales, que suele ser el caso. Si descompones fuerzas en componentes horizontales y verticales puedes encontrar los momentos escalares de los componentes sin dificultad.
El momento de una fuerza es la suma de los momentos de los componentes, por lo que
\ begin {ecuación} M =\ pm F_x d_y\ pm F_y d_x\ texto {.} \ label {verignon}\ tag {4.3.3}\ fin {ecuación}
Tenga cuidado de asignar el signo correcto a los términos de momento individuales para indicar la dirección; el momento positivo tiende a girar el objeto en sentido antihorario y el momento negativo tiende a girarlo en sentido horario de acuerdo con la convención estándar de reglas de la mano derecha.
Figura 4.3.2. Suma de momentos de componentes. \(M = \pm F_x d_y \pm F_y d_x\)
Ejemplo 4.3.3. Teorema de Verignon.
Se aplica una\(\lb{750}\) fuerza al marco como se muestra. Determinar el momento en que esta fuerza hace sobre el punto\(A\text{.}\)
- Responder
-
\[ \vec{M}_A = \ftlb{174} \text{ Clockwise}. \nonumber \]
- Solución
-
La fuerza\(\vec{F}\) actúa\(\ang{60}\) desde la vertical con una\(\lb{750}\) magnitud, por lo que sus componentes horizontales y verticales son
\ begin {alinear*} F_x\ amp = F\ sin\ ang {60} =\ lb {649.5}\\ f_y\ amp = F\ cos\ ang {60} =\ lb {375.0}\ final {alinear*}
Para\(F_x\text{,}\) el componente la distancia perpendicular desde el punto\(A\) es\(\ft{2}\) así que el momento de este componente es
\[ M_1 = 2 F_x = \ftlb{1299} \text{ Clockwise}\text{.} \nonumber \]
Para\(F_x\text{,}\) el componente la distancia perpendicular desde el punto\(A\) es\(\ft{3}\) así que el momento de este componente es
\[ M_2 = 3 F_y = \ftlb{1125} \text{ Counter-clockwise}\text{.} \nonumber \]
Asignar un signo negativo a\(M_1\) y un signo positivo\(M_2\) a para dar cuenta de sus direcciones y sumar, da el momento de\(\vec{F}\) aproximadamente\(A\text{.}\)
\ begin {align*} M_A\ amp = - M_1 + M_2\\\ amp = - 1299 + 1125\\ amp = -\ ftlb {174}\ end {align*}
El signo negativo indica que el momento resultante es en el sentido de las agujas del reloj, con una magnitud de\(\ftlb{174}\text{.}\)
\[ \vec{M}_A = \ftlb{174} \text{ Clockwise}. \nonumber \]
El diagrama interactivo a continuación te ayudará a visualizar las diferentes herramientas para encontrar momentos que fueron cubiertos en esta sección.
Este interactivo demuestra tres métodos para visualizar y calcular el momento bidimensional de una fuerza alrededor del punto.