4.4: Momentos en Tres Dimensiones
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Preguntas Clave
- ¿Dónde\(\vec{r}\) comienza y termina el vector de brazo de momento?
- ¿Por qué el Teorema de Varignon te da la misma respuesta como determinante?
- ¿Cómo se puede combinar un producto punto y un producto cruzado para encontrar el momento sobre una línea?
- ¿Por qué un determinante mixto triple te da un escalar mientras que un determinante de producto cruzado te da un vector?
Los momentos son vectores y normalmente tendrán componentes en las\(z\) direcciones\(x\text{,}\)\(y\) y en situaciones tridimensionales. Las flechas circulares que usamos para representar vectores en dos dimensiones no están claras en tres dimensiones, por lo que los momentos se dibujan como vectores al igual que los vectores de fuerza y posición, aunque a veces se verán momentos dibujados con puntas de flecha dobles para diferenciarlos de los vectores de fuerza. En tres dimensiones, generalmente no es conveniente encontrar el brazo de momento y usar la ecuación (4.2.1), así que en su lugar usaremos el producto cruzado vectorial, que es más fácil de aplicar pero menos intuitivo.
Productos Moment Cross
El método más robusto y general para encontrar el momento de una fuerza es usar el producto cruzado vectorial
\ begin {ecuación}\ vec {M} =\ vec {r}\ veces\ vec {F}\ texto {,}\ etiqueta {rxf}\ etiqueta {4.4.1}\ final {ecuación}
donde\(\vec{F}\) está la fuerza que crea el momento, y\(\vec{r}\) es un vector de posición desde el centro del momento hasta la línea de acción de la fuerza. El producto cruzado es una operación de multiplicación vectorial y el producto es un vector perpendicular a los vectores que multiplicaste.
Este interactivo muestra los vectores de fuerza y posición para su uso en el producto de cruce de momento. El vector de posición es un vector desde el centro del momento hasta cualquier punto de la línea de acción de la fuerza.
Figura 4.4.1. Producto de Momento Cruzado. \(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\)
Las matemáticas de los productos cruzados se discutieron en la Sección 2.8, y la ecuación (2.8.1) proporciona un método para calcular un momento productos cruzados
\ begin {align}\ vec {M}\ amp = |\ vec {r} | |\ vec {F} |\ sin\ theta\,\ hat {\ vec {u}}\ text {.} \ tag {4.4.2}\ end {align}
Aquí,\(\theta\) está el ángulo entre los dos vectores como se muestra en la Figura 4.4.1 anterior, y\(\hat{\vec{u}}\) es el vector unitario perpendicular a ambos\(\vec{r}\) y\(\vec{F}\) con la dirección que viene de la regla de la derecha. Esta ecuación es útil si conoces o puedes encontrar las magnitudes de\(\vec{r}\) y\(\vec{F}\) y el ángulo\(\theta\) entre ellas. Esta ecuación es el vector equivalente de (4.3.2).
Como alternativa, si conoce o puede encontrar los componentes de los\(\vec{F}\) vectores de posición\(\vec{r}\) y fuerza, normalmente es más fácil evaluar el producto cruzado de momento utilizando la forma determinante discutida en la Subsección 2.8.1.
\ begin {align}\ vec {M}\ amp =\ vec {r}\ times\ vec {F}\ notag\\\ amp=\ begin {vmatrix}\ ihat\ amp\ jhat\ amp\ khat\\ r_x\ amp r_y\ amp r_z\ f_x\ amp f_y\ amp f_y\ amp f_z\ end {vmatrix}\ notag\\ amp = (r_y f_z - r_z f_y)\\ ihat - (r_x f_z - r_z f_x)\\ jhat + (r_x f_y - r_y f_x)\\ khat\ label {moment-cross-det}\ tag {4.4.3}\ fin {align}
Aquí,\(r_x\text{,}\)\(r_y\text{,}\) y\(r_z\) son componentes del vector que describen la distancia desde el punto de interés a la fuerza. \(F_x\text{,}\)\(F_y\text{,}\)y\(F_z\) son componentes de la fuerza. El momento resultante tiene tres componentes. Estos componentes representan los momentos alrededor de cada uno de los\(z\) ejes\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y. La magnitud del momento resultante se puede calcular utilizando el Teorema tridimensional de Pitágoras.
\ begin {ecuación} M = |\ vec {M} | =\ sqrt {{m_X} ^2 + {m_Y} ^2+ {m_Z} ^2}\ tag {4.4.4}\ final {ecuación}
Es importante evitar tres errores comunes a la hora de configurar el producto cruzado.
- El orden siempre debe ser\(\vec{r}\times\vec{F}\text{,}\) nunca\(\vec{F}\times\vec{r}\text{.}\) El momento brazo\(\vec{r}\) aparece en la línea media del determinante y la fuerza\(\vec{F}\) en la línea de fondo.
- El brazo de momento siempre\(\vec{r}\) debe medirse desde el centro del momento hasta la línea de acción de la fuerza. Nunca desde la fuerza hasta el punto.
- Los signos de los componentes de\(\vec{r}\text{ and }\vec{F}\) deben seguir los de un sistema de coordenadas de la derecha.
En dos dimensiones,\(r_z\) y\(F_z\) son cero, por lo que (4.4.3) reduce a
\ begin {align}\ vec {M}\ amp =\ vec {r}\ times\ vec {F}\ notag\\\ amp=\ begin {vmatrix}\ ihat\ amp\ jhat\ amp\ khat\ r_x\ amp r_y\ amp 0\ f_x\ amp f_y\ amp 0\ end {vmatrix amp}\ notag\\\ = ({r_x} {f_y} - {r_y} {f_x})\\ khat\ texto {.} \ tag {4.4.5}\ end {align}
Esto es solo el equivalente vectorial del Teorema de Varignon (4.3.3) en dos dimensiones, con los signos correctos determinados automáticamente a partir de los signos en los componentes escalares de\(\vec{F}\) y\(\vec{r}\text{.}\)
Momento sobre un Punto
Los dos siguientes interactivos deberían ayudarte a visualizar momentos en tres dimensiones.
El primero muestra el vector de fuerza, el vector de posición y el momento resultante, todos colocados en el origen por simplicidad. El momento es perpendicular al plano que contiene\(\vec{F}\)\(\vec{r}\) y tiene una magnitud igual al 'área' del paralelogramo con\(\vec{F}\) y\(\vec{r}\) para lados.
Espectáculos interactivos\(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\text{.}\) Los vectores\ vec {F} y\ vec {r} se pueden ajustar interactivamente arrastrando o cambiando los valores en la tabla. Momento\ vec {M} se calcula con el producto cruzado automáticamente.
El segundo interactivo muestra una situación más realista. El centro del momento está en un punto arbitrario\(A\text{,}\) y la línea de acción de fuerza\(\vec{F}\) pasa por puntos arbitrarios\(P_1\) y\(P_2\text{.}\) El vector de posición\(\vec{r}\) es el vector desde\(A\) un punto en la línea de acción, y la fuerza\(\vec{F}\) puede deslizarse en cualquier lugar a lo largo de ese línea.
Muestra interactiva el momento\(\vec{M} \) sobre un punto arbitrario\(A\) debido a una fuerza de fuerza se define por un escalar\(F\) y dos puntos en su línea de acción,\(P_1\) y\(P_2\text{.}\)
Las ubicaciones\(A\text{,}\)\(P_1\text{,}\)\(P_2\) y la magnitud de se\(\vec{F}\) pueden establecer de forma interactiva. El interactivo determina los componentes\(\vec{r}\text{,}\) del vector unitario\(\lambda\) de la línea de acción, los componentes de\(\vec{F}\) y el momento\(\vec{M}\) y su magnitud\(M\text{.}\)
Momento sobre una Línea
En tres dimensiones, el momento de una fuerza alrededor de un punto se puede resolver en componentes alrededor de los\(z\) ejes\(x\text{,}\)\(y\) y. El momento produce una tendencia rotacional alrededor de los tres ejes simultáneamente, pero solo una porción del momento total actúa alrededor de cualquier eje en particular.
A menudo nos interesa encontrar el efecto de un momento sobre una línea o eje específico. Por ejemplo, considere el momento creado por un empuje en una manija de puerta. A menos que empuje con una fuerza exactamente perpendicular a la bisagra, solo una porción del momento total que produzca actuará alrededor del eje de la bisagra y será efectiva para abrir la puerta. El momento que buscamos es la proyección vectorial del momento sobre el eje de interés. Las proyecciones vectoriales se discutieron por primera vez en la Subsección 2.7.3.
Este interactivo muestra el momento producido al empujar una manija de puerta con una fuerza\(\vec{F}\text{,}\) y el componente de ese momento a lo largo del eje del eje de la bisagra de la puerta,\(\vec{M}_z\text{.}\)
El eje de interés no necesita ser un eje de coordenadas. Este interactivo muestra la proyección del momento\(\vec{M}\) en una línea que pasa por puntos\(A\) y\(B\text{.}\)
Este interactivo muestra la proyección del momento\(\vec{M}\) en línea a través\(A\) y\(B\) con vector de dirección unitaria\(\hat{u}\text{.}\) La proyección de\(M\) on line\(AB\) es (\(M \cdot \hat{u}) \hat{u}\text{.}\)
Para calcular el momento de una fuerza alrededor de un eje en particular combinas habilidades que ya has aprendido
- encontrar el momento de una fuerza alrededor de un punto usando el producto cruzado, (4.4.1).
- encontrar la proyección escalar de un vector sobre otro vector usando el producto punto, (2.7.8) y,
- multiplicar una proyección escalar por un vector unitario para encontrar la proyección vectorial, (2.7.9).
Al llevar a cabo estas operaciones se obtiene un vector que es el componente del momento\(\vec{r} \times \vec{F}\) a lo largo del\(u\) eje.
\ begin {ecuación}\ vec {M} _ {\ sombrero {\ vec {u}}} =\ sombrero {\ vec {u}}\ cdot (\ vec {r}\ veces\ vec {F})\\ sombrero {\ vec {u}}\ etiqueta {momento-proyección}\ etiqueta {4.4.6}\ final {ecuación}
El producto combinado de punto y cruz es la proyección escalar del momento en la línea de interés y se llama el producto triple mixto.
\ begin {align*}\ |\ proj_u\ vec {M}\ |\ amp =\ hat {\ vec {u}}\ cdot\ vec {M}\\ amp =\ hat {\ vec {u}}\ cdot (\ vec {r}\ veces\ vec {F})\ end {align*}
El triple producto mixto se puede calcular una operación a la vez, o en un solo paso. De cualquier manera, el resultado es un valor escalar que puede ser positivo o negativo. Ambas técnicas requieren los componentes de tres vectores
- \(\hat{\vec{u}}\text{,}\)el vector de dirección unitaria de la línea o eje de interés. Este vector representa la dirección del eje. 1 En muchos textos, la letra griega lambda,\(\lambda\) is often used to indicate unit direction vectors.
- \(\vec{r}\text{,}\)el vector de posición desde cualquier punto de la línea de interés hasta cualquier punto de la línea de acción de la fuerza.
- \(\vec{F}\text{,}\)el vector de fuerza. Si tienes múltiples fuerzas concurrentes, puedes tratarlas individualmente o sumarlas primero y encontrar el momento de la resultante, usando el principio de Verignon.
Para calcular el producto triple en un solo paso, evalúe el determinante\(\times\) 3 3 que consiste en los componentes del vector unitario\(\hat{\vec{u}}\) en la fila superior, los componentes de un vector de posición\(\vec{r}\) desde la línea de interés hasta la línea de acción de fuerza\(\vec{F}\) en la fila media, y el componentes de la fuerza en la fila inferior utilizando el método de determinantes aumentados Figura 2.8.1.
\ begin {align*}\ |\ proj_u\ vec {M}\ |\ amp =\ hat {\ vec {u}}\ cdot (\ vec {r}\\ veces\ vec {F})\\ amp =\ begin {vmatrix} u_x\ amp u_y\ amp u_z\\ amp u_z\\ r_x\ amp r_y\ amp r_z\ F_x\ amp f_y\ amp f_z\ end {vmatrix}\\ amp = (r_y f_z - r_z f_y)\ u_x + (r_z f_x - r_x f_z)\ u_y + (r_x f_y - r_y f_x)\ u_z\ end {align*}
Para encontrar la proyección vectorial a lo largo del eje seleccionado, multiplique este valor por vector unitario para el eje, ecuación (4.4.6).