5.3: Ecuaciones de Equilibrio
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Preguntas Clave
- ¿Cuál es la definición de equilibrio estático?
- ¿Cómo elijo cuáles son las ecuaciones más eficientes para resolver problemas de equilibrio bidimensional?
En la estática, nuestro enfoque está en sistemas donde tanto la aceleración\(\vec{a}\) lineal como la aceleración angular\(\mathbf{\alpha}\) son cero. Estos sistemas son frecuentemente estacionarios, pero podrían estar moviéndose a velocidad constante.
Bajo estas condiciones, la Segunda Ley de Newton para la traducción (1.1.1) reduce a
\ begin {ecuación}\ sum\ vec {F} = 0\ text {,}\ label {sigmaF2}\ tag {5.3.1}\ end {ecuación}
y, la segunda ley de Newton para la rotación (1.1.3) da la ecuación similar
\ begin {ecuación}\ suma\ vec {M} = 0\ texto {.} \ label {sigmaM2}\ tag {5.3.2}\ end {ecuación}
La primera de estas ecuaciones requiere que todas las fuerzas que actúan sobre un objeto se equilibren y se cancelen entre sí, y la segunda requiere que todos los momentos se equilibren también. En conjunto, estas dos ecuaciones son la base matemática de este curso y son suficientes para evaluar el equilibrio para sistemas con hasta seis grados de libertad.
Estas son ecuaciones vectoriales; ocultas dentro de cada una hay tres ecuaciones escalares independientes, una para cada dirección de coordenadas
\ begin {align}\ sum\ vec {F}\ amp= 0\ implica\ comenzar {casos}\ Sigma F_x\ amp= 0\\ Sigma F_y\ amp= 0\\ Sigma F_z\ amp= 0\ end {casos}\ amp\ sum\ vec {M}\ amp= 0\ amp= 0\ implica\ comenzar {casos}\ Sigma M_x\ amp= 0\ Sigma M_x\ amp= 0\ Sigma M_x Y\ amp= 0\\\ Sigma M_z\ amp= 0\ end {casos}\ texto {.} \ label {escalar-eqns}\ tag {5.3.3}\ end {align}
Trabajar con estas ecuaciones escalares suele ser más fácil que usar sus equivalentes vectoriales, particularmente en problemas bidimensionales.
En muchos casos no necesitamos las seis ecuaciones. Vimos en el Capítulo 3 que los problemas de equilibrio de partículas pueden resolverse usando solo la ecuación de equilibrio de fuerza, porque las partículas tienen, como máximo, tres grados de libertad y no están sujetas a ninguna rotación.
Para analizar cuerpos rígidos, que pueden rotar y traducir, se necesitan ecuaciones de momento para abordar los grados adicionales de libertad. Los cuerpos rígidos bidimensionales tienen solo un grado de libertad rotacional, por lo que pueden resolverse usando una ecuación de equilibrio de un momento, pero para resolver cuerpos rígidos tridimensionales, que tienen seis grados de libertad, se requieren las ecuaciones de tres momentos y las tres ecuaciones de fuerza.