7.1: Promedios ponderados
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Ciertamente sabes cómo encontrar el promedio de varios números sumarlos y dividirlos por el número de valores, así por ejemplo el promedio de los cuatro primeros enteros positivos es
\[ \frac{1+2+3+4}{4} = 2.5 \nonumber \]
Más formalmente, si\(a\) es un conjunto con\(n\) elementos, entonces el valor promedio, o medio, es
\ begin {ecuación}\ bar {a} =\ frac {1} {n}\ suma_ {i=1} ^n a_i =\ frac {a_1 + a_2 +\ puntos + a_n} {n}\ texto {.} \ tag {7.1.1}\ fin {ecuación}
Este promedio también se llama la media aritmética. Al calcular una media aritmética, cada número es igualmente importante a la hora de evaluar el promedio. El símbolo de barra superior se utiliza a menudo para indicar que una cantidad es un valor medio.
En situaciones en las que algunos valores son más importantes que otros, utilizamos un promedio ponderado. Un ejemplo familiar es su promedio de calificaciones. Tu GPA se calcula ponderando tu calificación para cada clase por los créditos para esa clase, luego dividiendo por el total de créditos que has tomado. Los valores crediticios se denominan factores de ponderación.
En términos generales un promedio ponderado es
\ begin {ecuación}\ bar {a} =\ frac {\ suma a_i w_i} {\ suma {w_i}}\ label {promedio ponderado}\ tag {7.1.2}\ end {ecuación}
Dónde\(a_i\) están los valores que estamos promediando y\(w_i\) son los factores de ponderación correspondientes. Los factores de ponderación pueden ser diferentes para cada ítem que se está promediando, así\(w_i\) es el factor de ponderación por valor\(a_i\text{.}\) En este libro no escribiremos los límites sobre las sumas, y entenderemos que la intención es siempre sumar sobre todos los valores. Observe que si los factores de ponderación son todos idénticos, pueden ser factorizados de las sumas por lo que el promedio ponderado y la media aritmética serán los mismos.
Se utiliza el promedio ponderado para encontrar centroides, centros de gravedad y centros de masa, tema de este capítulo. Los tres son puntos ubicados en el “centro” del objeto, pero el significado de “centro” depende de los factores de ponderación. El área o volumen son los factores utilizados para los centroides, el peso para el centro de gravedad y la masa para el centro de masa.
Ejemplo 7.1.1. Grados del curso.
El plan de estudios de mecánica dice que hay dos exámenes que valen el 25% cada uno, la tarea es del 10%, y el final vale el 40%. Tienes un 40 en el primer examen, un 80 en el segundo examen, y tu nota de tarea es 90.
¿Qué tienes que ganar en el examen final para obtener un 70 en la clase?
- Contestar
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Se necesita un 77.5 en la final para obtener un 70 para la clase.
- Solución
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Sus calificaciones conocidas y los factores de ponderación son
\ begin {align*} G_i\ amp =\ izquierda [40, 80, 90, FE\ derecha]\\ w_i\ amp =\ izquierda [25\%, 25\%, 10\%, 40\%\ derecha]\ end {alinear*}
Encuentra la puntuación final del examen\(FE\) para que tu calificación promedio\(\bar{G}\) sea del 70%.
\ begin {align*}\ bar {G}\ amp=\ frac {\ sum G_i w_i} {\ sum w_i}\\ 70\ amp =\ frac {(40\ veces 0.25) + (80\ veces 0.25) + (90\ veces 0.1) + (FE\ veces 0.4)} {(0.25 + 0.25 + 0.1 + 0.4)}\ FE\ amp =\ frac {70 (1) - (10 +20 + 9)} {0.4} = 77.5\ texto {.} \ end {alinear*}