7.2: Centro de gravedad
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En lo que va de este libro siempre hemos tomado el peso de un objeto para actuar en un punto en su centro. Este es el centro de gravedad: el punto donde se puede concentrar todo el peso de un objeto y seguir teniendo el mismo efecto externo en el cuerpo. En este capítulo aprenderemos a ubicar realmente este punto.
- Indicaremos el centro de gravedad con un círculo con cuadrantes en blanco y negro, y lo usaremos\((\bar{x}, \bar{y})\) como coordenadas de este punto. Esto representa la ubicación promedio de todas las partículas que componen el cuerpo. Los mismos símbolos también se utilizan para los centroides, y también\(\bar{z}\) se usa para problemas tridimensionales.
El centro de gravedad de un cuerpo es fijo con respecto al cuerpo, pero las coordenadas dependen de la elección del sistema de coordenadas. Por ejemplo, en la Figura 7.2.1 el centro de gravedad del bloque está en su centro geométrico lo que significa que\(\bar{x}\) y\(\bar{y}\) son positivos, pero si el bloque se mueve a la izquierda del\(y\) eje, o el sistema de coordenadas se traduce a la derecha del bloque, entonces se\(\bar{x}\) volvería negativo.
Figura 7.2.1. Ubicación del centroide, medida desde el origen.
Permite explorar el centro de gravedad de un objeto familiar. Toma un lápiz y trata de equilibrarlo en tu dedo. ¿Cómo decides dónde colocarlo? Probablemente lo apoyaste aproximadamente en el medio, luego lo ajustaste hasta que se equilibró. Encontraste el punto donde los momentos de los pesos a cada lado de tu dedo estaban en equilibrio.
Desarrollemos matemáticamente esta idea de momento equilibrado.
Supongamos que las dos mitades del lápiz tienen pesos conocidos que actúan en los puntos 1 y 2. ¿Cómo podríamos reemplazar los dos pesos con una sola fuerza estáticamente equivalente? Recordemos de la Sección 4.7 que los sistemas estáticamente equivalentes producen el mismo efecto externo sobre el objeto: la fuerza neta sobre el objeto, y el momento neto sobre cualquier punto no cambia. Una fuerza ascendente en este punto apoyará el lápiz sin que se vuelque.
Para ser equivalente, el peso total debe ser igual al peso total de las partes. \(W = W_1 + W_2\text{.}\)El sentido común también nos dice que\(W\) actuará en algún lugar entre\(W_1\) y\(W_2\text{.}\)
Figura 7.2.2. (arriba) Vista lateral de un lápiz que representa cada mitad como una partícula. (centro) Un diagrama de fuerza que muestra los pesos de las dos partículas. (abajo) Un sistema equivalente que consiste en un solo peso que actúa en el centro de gravedad del lápiz.
A continuación, hagamos el equivalente matemático de deslizar el dedo hacia adelante y hacia atrás hasta que se localice un punto de equilibrio. Escoge cualquier punto\(O\) para que sea el origen, luego calcula el momento total aproximadamente\(O\) debido a los dos pesos.
La suma de momentos alrededor del punto se\(O\) puede escribir como:
\[ \sum M_O=-x_1 W_1 -x_2 W_2 \nonumber \]
Observe que el momento de ambas fuerzas son en sentido horario alrededor del punto\(O\text{,}\) por lo que los signos son negativos según la regla de la derecha. Queremos una sola fuerza equivalente que actúe en el centro de gravedad (desconocido). Llamar a la distancia desde el origen hasta el centro de gravedad\(\bar{x}\text{.}\)
\(\bar{x}\)representa la distancia media del peso, masa o área dependiendo del contexto del problema. Estamos evaluando pesos en este problema, por lo que\(\bar{x}\) representa la distancia desde\(O\) el centro de gravedad.
La suma de momentos alrededor del punto\(O\) para el sistema equivalente se puede escribir como:
\[ \sum M_O=-\bar{x} W \nonumber \]
El momento del peso total\(W\) es también en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto\(O\text{,}\) por lo que el signo del momento también será negativo según la regla de la derecha. Dado que las dos representaciones son equivalentes podemos equipararlas y resolverlas para\(\bar{x}\text{.}\)
\ begin {align*} -\ bar {x} W\ amp=-x_1 W_1 -x_2 W_2\\ barra {x}\ amp =\ frac {x_1 W_1 +x_2 W_2} {W_1 + W_2}\ end {align*}
Este resultado es exactamente en la forma de (7.1.2) donde el valor que se promedia es distancia\(x\) y el factor de ponderación es el peso de la parte\(W_i\) y el resultado es la distancia media\(\bar{x}\text{.}\)
El lápiz estaba compuesto por dos mitades, pero esta ecuación se puede extender fácilmente por partes\(n\) discretas. La definición general resultante de la coordenada centroidal\(\bar{x}\) es:
\ begin {ecuación}\ bar {x} =\ frac {\ sum\ bar {x} _ {i} w_i} {\ sum w_i}\ tag {7.2.1}\ end {ecuación}
donde:
- \(W_i\)es el peso de la parte\(i\text{,}\)
- \(\bar{x}_{i}\)es la\(x\) coordenada del centro de gravedad del elemento\(i\text{,}\) y
- \(\sum\)se entiende que significa “suma todas las partes” así que no hay necesidad de escribir\(\sum\limits_{i = 1}^n\text{.}\)
El numerador es el primer momento de fuerza que es literalmente un momento de fuerza como lo definimos en el Capítulo 3. El denominador es la suma de los pesos de las piezas, que es el peso de todo el objeto. Pronto veremos también primeros momentos de masa y primeros momentos de área y en el Capítulo 10, introduciremos segundos momentos, que son la integral de alguna cantidad como área, multiplicada por una distancia al cuadrado.
Tratamos al lápiz como un objeto unidimensional, por lo que esta discusión se centró en\(\bar{x}\text{.}\) Hay fórmulas similares para las otras dimensiones también
\ begin {ecuación}\ bar {x} =\ frac {\ sum\ bar {x} _ {i} w_i} {\ sum w_i}\ quad\ bar {y} =\ frac {\ sum\ bar {y} _ {i} w_i} {\ sum w_i}\ quad\ bar {z} =\ frac {\ sum\ bar {z} W_i} {\ suma w_i}\ texto {.} \ label {center_of_gravity}\ tag {7.2.2}\ end {ecuación}
En palabras, estas ecuaciones dicen
\[ \text{distance to CG}=\frac{\text{sum of first moments of weight}}{\text{total weight}} \nonumber \]
Se aplican a cualquier objeto que pueda dividirse en partes discretas, y producen las coordenadas del centro de gravedad del objeto.
Pregunta 7.2.3.
¿Puedes explicar por qué el centro de gravedad de un objeto simétrico siempre caerá sobre el eje de simetría?
- Contestar
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Si el objeto es simétrico, cada subparte en el lado positivo del eje de simetría se equilibrará con una parte idéntica en el lado negativo. El primer momento para toda la forma alrededor del eje sumará a cero, lo que significa que
\[ \bar{x} = \frac{\sum \bar{x}_{i} W_i}{\sum W_i} = \frac{0}{W} = 0 \text{.} \nonumber \]
En otras palabras, la distancia desde el eje de simetría de la forma hasta el centroide es cero.
Ejemplo 7.2.4. Sencillo Centro de Gravedad.
Tres\(\lb{10}\) cajas se distribuyen a lo largo del\(x\) eje como se muestra.
a. Encuentra el peso total y la distancia desde el origen hasta el centro de gravedad de las tres cajas.
b. ¿Cómo cambiaría el centro de gravedad si la caja situada más a la derecha pesara\(\lb{20}\) en lugar de\(\lb{10}\text{?}\)
- Contestar
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a)\(W = \lb{30} \qquad \bar{x}=\ft{2.5}\)
b)\(W = \lb{40} \qquad \bar{x}=\ft{3.25}\)
El peso total aumenta en\(\lb{10}\) y el centro de gravedad se desplaza hacia la derecha por\(\ft{0.75}\text{.}\) Además, si los pesos de la caja tres se doblan, el primer momento de peso con respecto al origen de la tercera caja también se duplicaría.
\[ M_3 = W_3 x_3 = (\lb{20})(\ft{5.5}) = \ftlb{110} \text{.} \nonumber \]
- Solución