8.6: Relación entre carga, cizallamiento y momento
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Supongamos que tenemos una viga simplemente soportada sobre la cual hay una carga aplicada la\(w(x)\) cual se distribuye sobre la viga por alguna función de posición,\(x\text{,}\) como se muestra en la Figura 8.6.1.
Figura 8.6.1. Una viga simplemente soportada con una carga distribuida que es una función de la posición de la viga\(w(x)\text{.}\)
Si seleccionamos una pequeña sección de esta viga de\(x\)\(x+\Delta x\) a para mirar de cerca, tenemos el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la Figura 8.6.2.
Figura 8.6.2. Un diagrama de cuerpo libre de una pequeña sección de la viga con un ancho de\(\Delta x\)
Dado que\(\Delta x\) es infinitamente estrecho, podemos suponer que la carga distribuida sobre esta pequeña distancia es constante e igual al valor at\(x\text{,}\) y llamarla\(w\text{.}\)
Aplicar el equilibrio de fuerza en la dirección vertical da el siguiente resultado:
\ begin {alinear*}\ suma F_y\ amp = 0\\ v+W (\ Delta x) - (V+\ Delta V)\ amp = 0\\\ frac {\ Delta V} {\ Delta x}\ amp = w\ final {alinear*}
Tomando el límite de ambos lados a medida que\(\Delta x\) se acerca a 0, obtenemos este importante resultado
\ begin {align*}\ lim_ {\ Delta x\ a\ 0}\ izquierda (\ frac {\ Delta V} {\ Delta x}\ derecha)\ amp=\ lim_ {\ Delta x\ a\ 0}\ izquierda (w\ derecha)\\ frac {dV} {dx}\ amp = w\ end {align*}
Esta ecuación nos dice que, en una ubicación dada\(x\text{,}\) la pendiente de la función de cizallamiento\(V(x)\) existe el valor de la carga directamente por encima,\(w(x)\text{.}\) además, si multiplicamos ambos lados por\(dx\text{,}\) podemos integrar para encontrar que
\[ \Delta V=\int w(x) \ dx \nonumber \]
En palabras, esta ecuación dice que sobre una distancia dada, el cambio en el cizallamiento\(V\) entre dos puntos es el área bajo la curva de carga entre ellos.
Ahora mirando los momentos de flexión internos en el FBD en la Figura 8.6.2, cuando aplicamos equilibrio de momento sobre el centroide del elemento, y tomamos el límite de manera similar,
\ begin {alinear*}\ suma M\ amp =0\\ -\ frac {\ Delta x} {2} V-\ frac {\ Delta x} {2} (V+\ Delta V) -M+ (M+\ Delta M)\ amp=0\\ frac {\ Delta M} {\ Delta M} {\ Delta x}\ amp=\ frac {1} {2} (2V+\ Delta V)\\\ lim_ {\ Delta x\ a\ 0}\ izquierda (\ frac {\ Delta M} {\ Delta x}\ derecha)\ amp=\ lim_ {\ Delta x\ a\ 0}\ izquierda (V+\ frac {\ Delta V} {2}\ derecha)\\ frac {dM} {dx}\ amp = V\ final {alinear*}
Esta ecuación final nos dice que, la pendiente del diagrama de momento es el valor de la cizalla. Además, si multiplicamos ambos lados por\(dx\text{,}\) podemos integrarnos para encontrar que
\[ \Delta M=\int V\ dx \nonumber \]
En palabras, esta ecuación dice que sobre un segmento dado, el cambio en el valor del momento es el área bajo la curva de cizallamiento.
De ahí que las relaciones funcionales entre la fuerza de corte\(V(x)\text{,}\) interna\(M(x)\) momento de flexión interna en un punto\(x\text{,}\) y el valor de la carga en ese punto\(w(x)\) son simplemente las derivadas e integrales que aprendió en Cálculo I. Estas relaciones se resumen a continuación.
La pendiente de la función de cizallamiento\(x\) es el valor de la función de carga en la misma posición. Una carga ascendente se considera una carga positiva.
\ begin {ecuación}\ frac {dV} {dx} =w (x)\ label {VMV1}\ tag {8.6.1}\ end {ecuación}
El cambio en el valor de cizallamiento entre dos puntos es el área bajo la función de carga entre esos puntos.
\ begin {ecuación}\ Delta V=\ int_a^b w (x)\ dx\ etiqueta {VMV2}\ etiqueta {8.6.2}\ final {ecuación}
La pendiente de la función de momento at\(x\) es el valor de la cizalla en la misma posición.
\ begin {ecuación}\ frac {dM} {dx} =V (x)\ label {VMM1}\ tag {8.6.3}\ end {ecuación}
El cambio en el valor del momento entre dos puntos es el área bajo la curva de cizallamiento entre esos puntos.
\ begin {ecuación}\ Delta M=\ int_a^b V (x)\ dx\ etiqueta {VMM2}\ etiqueta {8.6.4}\ final {ecuación}
Los digramas de cizallamiento y momento de flexión muestran el efecto de la carga sobre las fuerzas internas dentro de la viga y son una representación gráfica de las ecuaciones (8.6.1) — (8.6.4). Los diagramas están conformados por saltos, pendientes y áreas como resultado de la carga.
- Los saltos son cambios verticales en los diagramas de cizallamiento y momento.
- Las pendientes son cambios graduales en los diagramas de cizallamiento y momento. Las pendientes positivas suben y hacia la derecha.
- Las áreas son “áreas” bajo las curvas de carga y cizallamiento. El área bajo la curva de carga es en realidad una fuerza, y el área bajo la curva de cizallamiento es en realidad un momento.
Cuadro 8.6.3. Efecto de la carga sobre los momentos de cizallamiento y flexión.
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Diagrama |
Saltos |
Taludes |
Áreas |
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Cizalla |
Las fuerzas concentradas hacen que el diagrama de corte salte en la misma cantidad. Las cargas ascendentes provocan saltos ascendentes. Los momentos concentrados en la viga no tienen ningún efecto sobre el diagrama de cizallamiento. |
La pendiente del diagrama de cizallamiento en un punto es igual al valor de la carga distribuida por encima de ese punto. Una carga distribuida hacia abajo le dará al diagrama de cizallamiento una pendiente negativa. |
El cambio en el cizallamiento entre dos puntos es igual al área correspondiente bajo la curva de carga. |
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Momento |
Los momentos concentrados provocan saltos en la curva del momento. Los momentos en sentido antihorario provocan saltos hacia abajo y viceversa. |
La pendiente del diagrama de momento en un punto es igual al valor de cizallamiento en ese punto. Un cizallamiento positivo provoca una pendiente positiva en el diagrama de momento y viceversa. |
El cambio en el momento entre dos puntos es igual al área correspondiente bajo una curva de cizallamiento. |
Puede utilizar el interactivo a continuación para explorar cómo los cambios en la carga concentrada\(P\) y la carga distribuida\(w\) afectan las pendientes, los saltos y las áreas de los diagramas de cizallamiento y momento de flexión resultantes.
Intenta mover los grandes puntos rojos para ver el efecto de la carga en los diagramas.