9.5: Fricción de Correa Flexible

Preguntas Clave

• Utilice el movimiento inminente del sistema para determinar qué lado de la correa tendrá una mayor tensión
• Calentar el ángulo de contacto\ beta entre la correa y la polea o el cilindro
• Calcular el diferencial de tensión a ambos lados de la correa o cilindro tanto para correas planas como trapezoidales
• Calculo de la transferencia de par máximo disponible desde un sistema de poleas

Cuando una correa, cuerda o cable se envuelve alrededor de un objeto, existe la posibilidad de fricción flexible de la correa. En casos como una cuerda sobre una rama de árbol que se utiliza para levantar un objeto (ejemplo en la Figura 9.5.1 a continuación), las fuerzas de fricción resisten el movimiento. En otros casos, como un sistema accionado por correa (ejemplo en la Figura 9.5.2 a continuación), las fuerzas de fricción ayudan a transferir potencia de una polea a otra polea.

Figura 9.5.1. Si queremos pasar una cuerda sobre una rama de árbol para ayudar a levantar un objeto pesado, habría un diferencial de tensión entre los lados de la cuerda debido a la fricción que resiste el movimiento de la cuerda en relación con la rama del árbol.

Figura 9.5.2. En muchos sistemas accionados por correa, el ion frita evita que la correa se deslice sobre la polea, lo que permite que la correa transfiera fuerzas de una polea a otra.

Para evaluar la fricción de la correa flexible, iniciamos una correa plana y sin masa que pasa sobre una superficie cilíndrica. Si tenemos una tensión igual en cada extremo de la correa, la correa experimenta una fuerza normal distribuida, que varía en función del ángulo entre la superficie de contacto de la correa y la dirección en la que están tirando las fuerzas de tensión de la correa (Figura 9.5.3).

Figura 9.5.3. Con tensiones iguales en cada lado de la correa, la única fuerza de interacción entre la correa y la polea es una fuerza distribuida no uniforme.

Si no hubiera fricción entre la correa y el cilindro, si aumentáramos la tensión en un lado de la cuerda, comenzaría a deslizarse a través del cilindro. Sin embargo, si hay fricción disponible entre la cuerda y la superficie, la fuerza de fricción se opondrá al movimiento de deslizamiento (Figura 9.5.4)

Figura 9.5.4. Con tensiones desiguales, una fuerza de fricción distribuida a lo largo de la superficie de la correa se opone al movimiento inminente de la correa debido al diferencial de tensión. Las fuerzas normales distribuidas aún existen pero se han gris para resaltar las fuerzas de fricción iguales y opuestas\(\vec{F}_\text{belt}\) y,\(\vec{F}_\text{pulley}\text{.}\) además, la polea necesita un par de momentos\(\vec{M}\) para permanecer estática, resistiendo los efectos de\(\vec{F}_\text{pulley}\text{.}\)

Fricción en Correas Planas

Hay dos formas de correa discutidas en este capítulo, las correas planas y las correas trapezoidales (Figura 9.5.5). Comenzamos con el análisis de las cintas planas ya que son las más simples de las dos.

Figura 9.5.5. Una polea de correa plana (izquierda) solo interactúa con la superficie inferior de la correa o cable. Una polea de correa en V (derecha) tiene una ranura y la correa interactúa con las paredes laterales de la ranura.

Al analizar sistemas con correas, generalmente nos interesa el rango de valores para las fuerzas de tensión donde la cinta no se desliza con relación a la superficie. Comenzando con la menor fuerza de tensión en un lado\(\vec{T}_\text{S}\) podemos aumentar la segunda fuerza de tensión\(\vec{T}_\text{L}\) a algún valor máximo antes de deslizarse. Para una correa plana, el valor máximo para\(\vec{T}_\text{L}\) depende de la magnitud\(\vec{T}_\text{S}\text{,}\) del coeficiente estático de fricción entre la correa y la superficie, y del ángulo de contacto entre la banda y la superficie\(\beta\) dado en radianes.

Encontrar el ángulo de contacto\(\beta\)

En problemas de correa flexible, es necesario traducir la geometría de los ángulos de entrada de cada correa en un ángulo de contacto\(\beta\) entre la correa y la polea. La forma más fácil de hacerlo es crear uno o más triángulos rectos utilizando las trayectorias de entrada y salida de la correa y trabajar a través de los diversos ángulos complementarios para transferir la geometría de la correa a un ángulo de contacto\(\beta\) (ver ejemplo en la Figura 9.5.6). No existe una regla simplificada para transferir los ángulos del cable al ángulo de contacto,\(\beta\text{,}\) pero en general, extender las líneas radiales desde el centro de la polea hasta las líneas tangenciales de la correa. A continuación, crea triángulos rectos con cada línea radial y trabaja para encontrar todos los ángulos que se suman al ángulo de contacto\(\beta\text{.}\)

Figura 9.5.6. En este interactivo se pueden cambiar las direcciones de los cinturones y ver la relación entre los ángulos que hacen con la vertical y el ángulo de contacto\(\theta\text{.}\)

Determinar qué correa tiene la mayor tensión.

Otro paso desafiante para resolver los problemas de fricción de la correa flexible es determinar qué correa tiene una tensión mayor\(\vec{T}_\text{L}\) y cuál tiene la tensión más pequeña\(\vec{T}_\text{S}\text{.}\) A diferencia de adivinar la dirección de las fuerzas de soporte desconocidas, esta no es una decisión que pueda tomar incorrectamente y luego conocer su error con un valor negativo; de ahí que te guiaremos a través de dos formas de tomar esta decisión por adelantado.

Método 1: Dibujar FBD y sumar la tensión a lo largo del cable.

Dibuje FBD y sume la tensión a lo largo del cable. Recuerda que la fricción siempre se opone al movimiento del cuerpo que estás evaluando, así si puedes crear un FBD del cable, puedes sumar fuerzas a lo largo del cable. Esta ecuación verificará qué tensión es mayor o menor.

Figura 9.5.7. El sistema mecánico de una polea de eje fijo enganchada a un motor proporcionando un momento rotacional de M y una correa fija diseñada para mantener la polea estática. Tenga en cuenta que la rueda y la correa se consideran sin masa (por lo tanto no tienen peso) en este ejemplo.

El primer FBD muestra las siguientes fuerzas que actúan de la rueda:

• Fuerzas de pasador (\(O_x\)y\(O_y\)) desde el soporte en el centro
• Una fuerza normal distribuida\(\sigma\vec{N}\) que actúa radialmente a lo largo de la superficie de contacto entre la rueda y la correa
• Una fuerza de fricción distribuida que\(\sigma\vec{F}\) actúa a lo largo de la superficie de la rueda que se opone al momento\(M\) y por lo tanto al movimiento inminente (I.M.) de la rueda

El segundo FBD muestra cómo las fuerzas de contacto en la rueda se transfieren iguales y opuestas a la correa:

• Una fuerza normal distribuida\(\sigma\vec{N}\) que actúa radialmente a lo largo de la superficie de contacto entre la rueda y la correa
• Una fuerza de fricción distribuida que\(\sigma\vec{F}\) actúa a lo largo de la superficie de la correa, que ahora se opone al movimiento relativo inminente de la correa (que es opuesto al movimiento inminente absoluto de la rueda).
• Cortar la cinta expone las fuerzas de tensión dentro.

Figura 9.5.8. Primer diagrama de cuerpo libre

Figura 9.5.9. Segundo diagrama de cuerpo libre

Finalmente, las fuerzas a lo largo de la cinta están en deben estar en equilibrio para mantener la aceleración igual a cero. Vemos en esta ecuación que la tensión\(T_1\) más la fuerza de fricción distribuida se\(\Sigma\vec{F}\) suman para igualar\(T_2\text{.}\) Por lo tanto,\(T_2\) debe ser mayor\(T_L\) y\(T_1\) menor\(T_S\text{.}\)

\ start {alinear*}\ Sigma F_\ texto {axial} & = 0\\ T_2 -T_1-\ Sigma F_\ texto {cinturón} & = 0\\ T_2 & = T_1+\ Sigma F_\ texto {cinturón}\ final {alinear*}

Método 2: La tensión más grande siempre está en la dirección del movimiento inminente de la correa.

Siguiendo la lógica del Método 1, resulta que la tensión mayor siempre\(T_L\) está en la dirección del movimiento inminente de la correa. No importa si el movimiento de la correa es relativo (como en el ejemplo del Método 1 anterior) o absoluto, la tensión mayor siempre está en el movimiento inminente de la correa. Si aún estás aprendiendo las diferencias entre movimiento relativo y absoluto, consulta la sección anterior.

Es probable que haya otras formas robustas de determinar los lados de tensión cada vez más pequeños en un sistema de correa flexible; asegúrese de aprender un método que funcione tanto para sistemas potencialmente móviles como para sistemas de correa fija.

Encontrar el cambio en la tensión de la correa debido a la fricción

Como se muestra gráficamente en la Figura 9.5.9 anterior, la fuerza de fricción se acopla a lo largo de la superficie de contacto de la polea y la correa. Acercando un solo elemento diferencial de la correa a continuación en la Figura 9.5.10, veremos además el efecto de la fuerza de fricción sobre la tensión dentro de la correa.

Figura 9.5.10. Elemento diferencial de una correa flexible con fuerza normal aplicada, fuerza de\(dN\text{,}\) fricción\(dF\text{,}\) y tensiones internas\(T\) y\(T+dT\text{.}\)

Primero, suma las fuerzas en\(x\) el elemento de cinta en la Figura 9.5.10.

\ begin {align*}\ suma f_x & = 0\\\ mu\; dN + T\ cos (d\ theta/2) & = (t+dt)\ cos (d\ theta/2) =0\\\ mu\; dN &=dt\ cos (d\ theta/2)\ end {align*}

Como\(d\theta\) se acerca a cero,\(\cos (d\theta/2)\rightarrow 1\text{,}\) así en el límite,

\[ dN = \frac{\mu}{dT} \nonumber \]

Ahora sumando fuerzas en la\(y\) dirección,

\ begin {align*}\ suma f_y & = 0\\ dN &= T\ sin (d\ theta/2) + (t+dt)\ sin (d\ theta/2) =0\ dN &= (2T + dT)\ sin (d\ theta/2)\\ &\ approx 2T (d\ theta/2) + dT (d\ theta/2)\ end {alinear*}

Donde hemos utilizado la aproximación de ángulo pequeño\(\sin(d\theta/2) \approx d\theta/2\text{.}\) Bajando el término diferencial de segundo orden\(dT\; d\theta\) como insignificante, rendimientos

\[ dN = T d\theta \nonumber \]

Resolver simultáneamente eliminando nos\(dN\) deja con

\[ \frac{dT}{T}=\mu \ d\theta\text{,} \nonumber \]

que podemos integrar entre\(T_\text{S} \) y\(T_\text{L}\) encontrar

\ begin {reunir*}\ int_ {T_\ texto {S}} ^ {T_\ texto {L}}\ frac {dT} {T} =\ mu\ int_ {0} ^ {\ beta} d\ theta\\ ln\ frac {T_\ texto {L}} {T_\ texto {S}} =\ mu\ beta\ fin {reunión*}

1. o resolviendo para\(T_\text{L}\) encontramos

\[ T_\text{L}=T_\text{S}\; e^{\mu \beta}\text{,} \nonumber \]

donde\(T_\text{L}\) esta la mayor tension tirando de la correa,\(T_S\) es la menor tension tirando de la correa,\(e\) es la base de tronco natural 2.718,\(\mu\) es el coeficiente de fricción entre la correa y la polea, y\(\beta\) es el angulo de contacto entre la correa y la polea en radianes.

Observe que la tensión diferencial de la correa es independiente del tamaño y forma de la superficie, siempre que la correa haga contacto continuo.

Fricción en correas V-belt

Las correas trapezoidales encajan en una ranura de una polea y con ello aumentan la fuerza normal de contacto con los lados de la polea (ver Figura 9.5.11 a continuación). Este aumento en la fuerza normal aumenta secuencialmente la fricción de contacto. La correa solo debe entrar en contacto con los lados y no con la base de la ranura para mantener esta ventaja de fricción.

Figura 9.5.11. La fricción “mejorada” de una correa en V proviene del aumento de las fuerzas normales, que son una función del ángulo de ranura.\(\alpha\text{.}\) La suma de los componentes verticales de fuerza normal es la misma para una correa plana o correa en V. Sin embargo, los componentes horizontales de las fuerzas normales en una correa en V, pellizcan efectivamente la correa, aumentando así la fuerza de fricción disponible.

Como podemos ver en la ecuación anterior, los lados más pronunciados de la ranura (correspondientes a un ángulo de ranura más pequeño\(\alpha\)) dan como resultado una mayor diferencia de potencial en las fuerzas de tensión. La compensación con lados más pronunciados, sin embargo, es que la correa se acuña más firmemente en la ranura y requiere una mayor fuerza para desencajarse a medida que sale de la polea. Esta fuerza de desacuñamiento disminuye la eficiencia del sistema accionado por correa. Una opción alternativa de diseño sería un sistema accionado por cadena que lleve diferencias de tensión muy altas de manera más eficiente.

Torque en sistemas de correa

En los sistemas accionados por correa, generalmente hay una polea de entrada y una (o más) poleas de salida. Para determinar el par máximo o potencia que puede ser transmitido por la correa, necesitaremos considerar cada una de las poleas de forma independiente, entendiendo que el deslizamiento que ocurre en la entrada o en la salida resultará en una falla de la transmisión de potencia.

Figura 9.5.12. Un conjunto de poleas de eje fijo accionadas por correa. Tenga en cuenta que la dirección del momento de entrada es opuesta a la del momento de salida de resistencia, pero el movimiento inminente es el mismo para ambas poleas.

El primer paso para determinar el momento máximo (o par) que se puede transmitir en la transmisión por correa es determinar el valor máximo posible para\(\vec{T}_\text{L}\) antes de que se produzca el deslizamiento en la polea de entrada o de salida. Para iniciar este proceso, necesitaremos comenzar resolviendo la tensión en reposo. Esta tensión de reposo es la tensión de los cinturones antes de cualquier movimiento o transferencia de potencia (análoga a la tensión en la cadena de tu bicicleta cuando está en reposo). Prácticamente, si se desea aumentar o disminuir la tensión de reposo, muchas máquinas tienen ajustes para aumentar o disminuir ligeramente la distancia entre las poleas. Si encendemos la máquina y aumentamos los momentos en ambas poleas, la tensión de reposo\(\vec{T}_\text{S}\) permanece constante mientras que la tensión en el lado de transmisión\(\vec{T}_\text{L} \) aumenta.

Si las poleas son del mismo material (y por lo tanto los mismos coeficientes de fricción), se puede suponer que la correa primero se deslizará en la más pequeña de las dos poleas ya que la polea más pequeña tiene un ángulo de contacto más pequeño\(\beta\text{.}\)

Una vez que tenemos el valor máximo para\(\vec{T}_\text{L} \), podemos usarlo para encontrar los momentos máximos de entrada y salida. A continuación, para encontrar el par, luego encontramos el momento neto ejercido por las dos fuerzas de tensión, donde el radio de la polea es el brazo de momento.

El par máximo de entrada\(M_i\) antes del deslizamiento es

\[ M_\text{i} = (T_\text{Lmax}-T_\text{S})r_\text{input} \nonumber \]

El par máximo de salida M_o antes del deslizamiento es

\[ M_\text{o} = (T_\text{Lmax}-T_\text{S})r_\text{output} \nonumber \]

Para encontrar la potencia máxima que podemos transferir con el sistema de transmisión por correa, utilizaremos la definición rotacional de potencia, donde la potencia es igual al par multiplicado por la velocidad angular en radianes por segundo. A diferencia del par, la potencia en la entrada y la salida será la misma, suponiendo que no haya ineficiencias.

\ begin {ecuación} P_\ texto {max} = M_\ texto {i} (\ omega_\ texto {entrada}) = M_\ texto {o} (\ omega_\ texto {salida})\ tag {9.5.1}\ end {ecuación}