3.4: Momento sobre un Punto (Vector)

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 83838

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Dado algún punto en un cuerpo extendido, si hay una fuerza que actúa sobre el cuerpo que no viaja por ese punto, entonces esa fuerza provocará un momento sobre ese punto. Como se discutió en la página de momentos, un momento es una tendencia de la fuerza a provocar rotación.

El método vectorial en 2 y 3 dimensiones

Una alternativa para calcular el momento a través de cantidades escalares es usar el método vectorial o método de producto cruzado. Para problemas bidimensionales simples, el uso de cantidades escalares suele ser suficiente, pero para problemas más complejos el método de productos cruzados tiende a ser más fácil. El método de producto cruzado para calcular momentos dice que el vector de momento de una fuerza alrededor de un punto será igual al producto cruzado de un vector de posición\(\vec{r}\), desde el punto hasta cualquier lugar en la línea de acción de la fuerza, y el vector de fuerza en sí. \[ \vec{M} \, = \, \vec{r} \times \vec{F} \]

Una gran ventaja de este método es que\(\vec{r}\) no tiene por qué ser la distancia más corta entre el punto y la línea de acción; va del punto a cualquier parte de la línea de acción. Para cualquier problema, hay muchos\(\vec{r}\) vectores posibles, pero debido a la forma en que funciona el producto cruzado, todos deberían resultar en el mismo vector de momento al final.

Una palanca está unida en un extremo a una pared (punto A). Se aplica una fuerza ascendente al extremo libre de la palanca, y se dibuja su línea de acción extendida; un vector r apunta desde el punto A a un punto arbitrario en la línea de acción. — Figura\(\PageIndex{1}\): El vector de momento de la fuerza\(F\) alrededor del punto A será igual a los productos cruzados del\(r\) vector y el vector de fuerza. \(\vec{r}\)es un vector desde el punto A hasta cualquier punto a lo largo de la línea de acción de la fuerza.

Es importante señalar aquí que todas las cantidades involucradas son vectores:\(\vec{r}, \, \vec{F}\), y\(\vec{M}\). Antes de que pueda resolver para el producto cruzado, deberá escribir\(\vec{r}\) y\(\vec{F}\) en forma de componente vectorial. Deberá escribir los tres componentes de estos vectores: para problemas bidimensionales sus\(z\) componentes simplemente serán cero, pero esos valores son necesarios para los cálculos.

El vector momento que obtienes se alineará con el eje de rotación del momento, donde puedes usar la regla de la derecha para determinar si el momento va en sentido horario o antihorario alrededor de ese eje.

Diagrama muestra cómo se puede encontrar la dirección de un momento mediante el uso de la regla de la derecha, con el ejemplo de una rotación en sentido antihorario en el plano de la pantalla correspondiente a un vector de momento apuntando fuera de la pantalla. — Figura\(\PageIndex{2}\): El resultado de nos\(\vec{r} \times \vec{F}\) dará el momento vector. Para este problema bidimensional, el vector momento está apuntando en la\(z\) dirección positiva. Podemos usar la regla de la derecha para determinar el sentido de rotación desde el momento: alinee nuestro pulgar derecho hacia arriba con el vector momento y nuestros dedos curvados apuntarán en la dirección de rotación desde el momento.

Por último, también es importante señalar que tomar el producto cruzado, a diferencia de la multiplicación, no es comunicativo. Esto quiere decir que el orden de los vectores importa, y no\(\vec{r} \times \vec{F}\) será el mismo que\(\vec{F} \times \vec{r}\). Es importante usar siempre a la\(\vec{r} \times \vec{F}\) hora de calcular momentos.

Videoconferencia que cubre esta sección, impartida por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/Jt2AE2yZFEQ.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Cuál es el momento en que esta fuerza ejerce sobre el punto A? ¿Cuál es el momento en que esta fuerza ejerce sobre el punto B?

Un triángulo rectángulo está orientado de manera que su ángulo recto, punto B, está en la parte superior izquierda de la imagen; el punto A es una de las esquinas del triángulo, 6 pies por debajo de B. El tercer ángulo del triángulo mide 30 grados; en esa esquina se aplica una fuerza de magnitud 80 lbs, perpendicular a la hipotenusa y apuntando hacia arriba y a la izquierda. — Figura\(\PageIndex{3}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{1}\). Se aplica una fuerza a una esquina de un triángulo rectángulo, produciendo momentos alrededor de las otras esquinas del triángulo.

Solución: Video\(\PageIndex{2}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{1}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/wn1xJZMpDY4.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Determinar el momento en que ejerce la tensión en el cable alrededor de la base del poste (deje el momento en forma vectorial). ¿Cuál es la magnitud del momento en que la tensión ejerce sobre este punto?

Un cable con una fuerza de tensión de 3000 lbs conecta la parte superior de un poste vertical de 15 pies de altura al suelo. La ubicación donde el extremo del cable toca el suelo está a 15 pies detrás del lugar que está a 3 pies a la derecha de la base del poste. — Figura\(\PageIndex{4}\): diagrama de problemas por Ejemplo\(\PageIndex{2}\); una disposición tridimensional de un poste vertical y un cable que conecta el poste al suelo.

Solución: Video\(\PageIndex{3}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{2}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/ioqy98jZ0Vg.