3.5: Momento de una Fuerza Alrededor de un Eje

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A veces es útil poder calcular el momento en que una fuerza ejerce alrededor de un eje determinado que es relevante para el problema. Un ejemplo sería una fuerza en la puerta de la bóveda en la imagen de abajo. Si tomamos el momento sobre un punto (como una de las bisagras de la puerta), podemos encontrar que el momento vector no se alinea con el eje de esta bisagra. En ese caso, el componente del vector de momento que se alinea con el eje de la bisagra provocará una rotación, mientras que el componente del vector de momento que no se alinea con el eje de la bisagra provocará momentos de reacción en la bisagra. Si sólo nos interesa la rotación de la puerta, vamos a querer encontrar el momento en que la fuerza ejerce específicamente alrededor del eje de las bisagras.

Una gran puerta de bóveda metálica circular, actualmente abierta. — Figura\(\PageIndex{1}\): La bisagra en una puerta como la que se muestra arriba solo permitirá la rotación a lo largo del eje de la bisagra. Dado que esto corresponde a momentos a lo largo del eje de la bisagra, puede ser útil calcular específicamente el momento en que una fuerza ejerce alrededor del eje de la bisagra. Imagen de Dominio Público, sin autor listado.

Cálculo del Momento Alrededor de un Eje a través del Producto Dot

Para encontrar el momento de una fuerza alrededor de un eje específico, encontramos el momento en que la fuerza ejerce alrededor de algún punto sobre ese eje y luego encontramos el componente del vector momento que se alinea con el eje que nos interesa.

Para hacer esto matemáticamente, utilizamos el producto cruzado para calcular el momento de la fuerza alrededor de cualquier punto a lo largo del eje, y luego tomamos el producto de punto de un vector unitario\(\vec{u}\) a lo largo del eje y el vector de momento que acabamos de calcular. \[ M \, = \, \vec{u} \cdot (\vec{r} \times \vec{F}) \]

Se muestra una puerta con sus bisagras a la izquierda. Se aplica una fuerza F a parte de la puerta, apuntando hacia arriba, hacia la izquierda y hacia la página. Se dibuja un vector r desde la bisagra inferior de la puerta hasta la cabeza del vector de fuerza. Se dibuja un vector unitario u apuntando hacia arriba, en la misma dirección que el eje de rotación de las bisagras. — Figura\(\PageIndex{2}\): El momento de una fuerza alrededor de un eje es el producto de punto\(\vec{u}\) y el producto cruzado de\(\vec{r}\) y\(\vec{F}\).

El vector unitario\(\vec{u}\) tiene una magnitud de uno y estará apuntando en la dirección del eje que nos interesa. Tu respuesta final de esta operación será un valor escalar (teniendo una magnitud pero sin dirección). Esta es la magnitud del momento alrededor del eje dado, con la dirección especificada por el vector unitario\(\vec{u}\).

Videoconferencia que cubre esta sección, impartida por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/FMu8XpvBAMo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Una placa plana en forma de L se une a través de dos bisagras como se muestra en el diagrama a continuación. Si la fuerza\(F\) actúa sobre la placa como se muestra en el diagrama, ¿cuál es el momento en que esa fuerza\(F\) ejerce alrededor del eje de las bisagras?

Una pieza plana de metal en forma de L se encuentra en el plano de la pantalla (el plano xy), con su ángulo recto apuntando hacia abajo y sus diagonales a 45 grados de la vertical. El lado izquierdo de la L está unido a otra pieza plana de metal con bisagras, y un vector unitario u apunta a lo largo de esta línea de unión. Un vector r de 5 pies de largo apunta desde el ángulo recto de la L a su punta derecha, donde se ejerce una fuerza de [5, -10, 10] lbs. — Figura\(\PageIndex{3}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{1}\); una pieza bidimensional de metal experimenta una fuerza con componentes en las tres dimensiones que hace que la pieza metálica gire sobre bisagras.

Solución: Video\(\PageIndex{2}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{1}\), entregado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/bP9iKRCCrAc.