9.1: Conservación de Energía para Partículas

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Los conceptos de trabajo y energía proporcionan la base para resolver una variedad de problemas cinéticos. Generalmente, este método se llama Método Energético o Conservación de Energía, y se puede reducir a la idea de que el trabajo realizado a un cuerpo será igual al cambio de energía de ese cuerpo. Dividiendo la energía en piezas de energía cinética y potencial como lo hacemos a menudo en problemas de dinámica, llegamos a la siguiente ecuación base para la conservación de energía.

\[ W = \Delta KE + \Delta PE \]

Es importante notar que a diferencia de la Segunda Ley de Newton, la ecuación anterior no es una ecuación vectorial. No necesita ser desglosado en componentes que puedan simplificar el proceso. Sin embargo, solo tenemos una sola ecuación y por lo tanto solo podemos resolver para un solo desconocido, lo que puede limitar el método.

Trabajo:

Para entender cómo utilizar el método energético primero necesitamos entender los conceptos de trabajo y energía. El trabajo en general es una fuerza ejercida sobre una distancia. Si imaginamos una fuerza única y constante empujando un cuerpo en una sola dirección a lo largo de cierta distancia, el trabajo realizado por esa fuerza sería igual a la magnitud de esa fuerza multiplicada por la distancia que recorrió el cuerpo. Si tenemos una fuerza que se opone al recorrido (como la fricción), sería un trabajo negativo.

Una caja sobre una superficie plana y horizontal experimenta una fuerza de empuje que la mueve hacia la derecha, así como una menor magnitud de fuerza de fricción que apunta hacia la izquierda. La posición original de la caja en el lado izquierdo de la imagen se indica mediante un contorno punteado, y la distancia entre esa posición original y su posición actual en el lado derecho de la imagen se etiqueta como d. — Figura\(\PageIndex{1}\): En instancias con una fuerza constante y una dirección constante, el trabajo realizado a un cuerpo será igual a la magnitud de esa fuerza multiplicada por la distancia que recorre el cuerpo. Para las fuerzas que se oponen al movimiento, el trabajo será negativo.

\[ W_{push} = F_{push} * d \]

\[ W_{friction} = - F_{friction} * d \]

Para los casos en los que las fuerzas y la dirección de desplazamiento no coinciden, el componente de la fuerza en la dirección de desplazamiento es la única pieza de la fuerza que hará trabajo. Siguiendo con esta lógica, las fuerzas que son perpendiculares a la dirección de desplazamiento de un cuerpo no ejercerán ningún trabajo sobre un cuerpo porque no hay componente de la fuerza en la dirección de desplazamiento.

Una caja sobre una superficie plana y horizontal experimenta una fuerza de empuje que la mueve hacia la derecha. El vector de fuerza de empuje es angulado, formando un ángulo de theta con la horizontal a medida que apunta hacia abajo y hacia la derecha. La posición original de la caja en el lado izquierdo de la imagen se indica con un contorno punteado, y la distancia entre esa posición original y su posición actual en el lado derecho de la imagen se etiqueta como d. La caja también experimenta una fuerza normal hacia arriba desde la superficie sobre la que se asienta. — Figura\(\PageIndex{2}\): Solo los componentes de una fuerza en la dirección de desplazamiento ejercen trabajo sobre un cuerpo. Las fuerzas perpendiculares a la dirección de desplazamiento no ejercerán ningún trabajo sobre el cuerpo.

\[ W_{push} = F_{push} \cos (\theta) * d \]

\[ W_{normal} = 0 \]

En el caso de una fuerza que no permanezca constante, tendremos que dar cuenta de la fuerza cambiante. Para ello simplemente integraremos la función de fuerza sobre la distancia recorrida por el cuerpo. Al igual que antes, solo el componente de la fuerza en la dirección de desplazamiento contará para el trabajo realizado, y las fuerzas que se oponen al viaje serán trabajo negativo.

\[ W = \int\limits_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx \]

Energía:

Cuando se habla de energía en la dinámica de ingeniería, generalmente descompondremos la energía en energía cinética y energía potencial. La energía cinética es la masa de energía en movimiento, mientras que la energía potencial representa la energía que se almacena debido a la posición o tensiones en un cuerpo.

En su forma de ecuación, la energía cinética de una partícula está representada por la mitad de la masa del cuerpo multiplicada por su velocidad al cuadrado. Si queremos determinar el cambio en la energía cinética, simplemente tomaríamos la energía cinética final menos la energía cinética inicial.

\[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \]

\[ \Delta KE = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 \]

Como nota, un cuerpo que está rotando también tendrá energía cinética rotacional, pero la guardaremos para nuestra discusión del trabajo y la energía con cuerpos rígidos.

La energía potencial, a diferencia de la energía cinética, no es realmente energía en absoluto. En cambio, representa el trabajo que una fuerza dada potencialmente hará entre dos instantes en el tiempo. La energía potencial puede venir de muchas formas, pero las dos que discutiremos aquí son la energía potencial gravitacional y la energía potencial elástica. Estos representan el trabajo que harán la fuerza gravitacional y una fuerza de resorte, respectivamente. A menudo usamos estos términos de energía potencial en lugar del trabajo realizado por gravedad o resortes. Al incluir estos términos de energía potencial, es importante no incluir adicionalmente el trabajo realizado por la gravedad o las fuerzas de resorte.

El cambio en la energía potencial gravitacional para cualquier sistema está representado por el producto de la masa del cuerpo, el valor\(g\) (9.81 m/s ² o 32.2 pies/s ² en la superficie terrestre), y el cambio vertical de altura entre la posición inicial y la posición final. En forma de ecuación, esto es como sigue.

\[ \Delta PE_{gravity} = m * g * \Delta h \]

Dos cajas idénticas se encuentran en la parte superior de la imagen, horizontalmente alineadas entre sí. Un contorno punteado muestra que las casillas estaban originalmente en la parte inferior de la página, y viajaron hacia arriba por la misma distancia (Delta h) para llegar a sus ubicaciones actuales aunque los caminos que tomaron fueron diferentes. El cuadro de la derecha se movió directamente hacia arriba, mientras que el cuadro de la izquierda tomó un camino curvo. — Figura\(\PageIndex{3}\): Al encontrar el cambio en la energía potencial gravitacional, multiplicamos la masa por\(g\) (dándonos el peso del objeto) y luego multiplicamos eso por el cambio en la altura del objeto, independientemente del camino tomado.

Para encontrar el cambio en la energía potencial elástica, necesitaremos conocer la rigidez del resorte (representada por\(k\), en unidades de fuerza por distancia) así como la distancia que el resorte ha sido estirado o comprimido desde su longitud natural de reposo (representada por\(x\), en unidades de distancia). Una vez que tenemos esos valores, la energía potencial elástica se puede calcular multiplicando la mitad de la rigidez por el cuadrado de la distancia\(x\). Para encontrar el cambio en la energía potencial elástica, simplemente tomamos la energía potencial elástica final y restamos la energía potencial elástica inicial.

\[ \Delta PE _{spring} = \frac{1}{2} k x_f^2 - \frac{1}{2} k x_i^2 \]

Volviendo a nuestra ecuación original de conservación de energía, simplemente tapamos los términos apropiados en cada lado (trabajo a la izquierda y energías a la derecha) y equilibramos los dos lados para resolver cualquier incógnitas. Términos que no existen o no cambian, como la energía potencial elástica en un problema sin resortes o\(\Delta KE\) en un problema donde no hay cambio en la velocidad del cuerpo, se pueden poner a cero.

Videoconferencia que cubre esta sección, impartida por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/FMkHrOjKlXs.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Una cajón de 16 libras se desliza por una rampa como se muestra a continuación. El cajón se libera desde una altura de 10 pies sobre el suelo.

¿Cuál es el trabajo realizado por gravedad?
¿Cuál es el cambio en la energía potencial gravitacional?

Una caja está en una rampa con una inclinación de 60°, sostenida en el punto a 10 pies sobre el suelo. Después se suelta y se deja que se deslice por la inclinación. — Figura\(\PageIndex{4}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{1}\). Una caja de 16 lb inicialmente a 10 pies sobre el suelo se desliza por una rampa de inclinación de 60°.

Solución: Video\(\PageIndex{2}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{1}\). Fuente de YouTube: https://youtu.be/ZkopO1aTj54.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Se utiliza un resorte con una longitud sin estirar de 40 cm y un\(k\) valor de 120 N/cm para levantar una caja de 5 kg de una altura de 20 cm a una altura de 30 cm. Si la caja empieza en reposo, ¿cuál esperarías que fuera la velocidad final?

En el lado izquierdo de la imagen, un resorte orientado verticalmente sostiene un bloque en su extremo superior; actualmente el bloque se encuentra 20 centímetros por encima de algún punto de referencia. En el lado derecho de la imagen, el mismo resorte ahora se ha estirado hacia arriba, por lo que el bloque se encuentra ahora a 30 centímetros por encima de ese punto de referencia. — Figura\(\PageIndex{5}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{2}\). Un resorte orientado verticalmente que soporta una caja en su extremo superior se estira para levantar la carga.

Solución: Video\(\PageIndex{3}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{2}\). Fuente de YouTube: https://youtu.be/T_5JT4XFQN8.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Una bola de naufragio de 2,000 libras cuelga del extremo de un cable de 40 pies. Si la bola de naufragio se libera desde un ángulo de 40 grados con respecto a la vertical, ¿cuál sería la velocidad máxima esperada en el punto inferior de la trayectoria de desplazamiento?

Un cable con un extremo fijo en su lugar y el otro extremo unido a una bola de naufragio. Su posición final, colgada recta hacia abajo desde el punto de unión, se dibuja en líneas punteadas. Su posición actual, inclinada hacia abajo y hacia la derecha con el cable formando un ángulo de 40° con el cable de línea punteada, se dibuja en líneas continuas. Otra línea punteada muestra el camino curvo que tomará la pelota para pasar de su actual a su posición final. — Figura\(\PageIndex{6}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{3}\). Una bola de naufragio sobre un cable se eleva ligeramente por encima de su posición de reposo, manteniéndose el cable tenso y luego liberado.

Solución: Video\(\PageIndex{4}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{3}\). Fuente de YouTube: https://youtu.be/UkcpT1lfIDY.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Un avión de 24,000 kilogramos es lanzado desde un portaaviones utilizando una catapulta hidráulica. Si la fuerza que ejerce la catapulta sobre la pista de 90 metros se muestra en la siguiente gráfica:

¿Cuál es el trabajo realizado por la catapulta?
¿Cuál es la velocidad del avión al final de la pista?

Gráfico cartesiano-coordinado de la fuerza ejercida por una catapulta de lanzamiento en una aeronave vs distancia recorrida en la pista. La fuerza se describe con una función lineal: cuando x = 0 metros, F = 1240 kN y cuando x = 90 metros, F = 205 kN. — Figura\(\PageIndex{7}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{4}\). Gráfico de la fuerza ejercida por la catapulta vs distancia recorrida sobre la pista, mostrando una relación lineal entre estas cantidades.

Solución: Video\(\PageIndex{5}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{4}\). Fuente de YouTube: https://youtu.be/DfSMeUm1SG8.