12.3: Movimiento Planar General de Cuerpo Rígido

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En general, el movimiento plano, los cuerpos están girando y trasladándose al mismo tiempo. En consecuencia, necesitaremos relacionar las fuerzas con la aceleración del centro de masa del cuerpo así como relacionar los momentos con las aceleraciones angulares.

Un niño corriendo por una playa, rodando una llanta de costado. — Figura\(\PageIndex{1}\): Esta llanta rodada a lo largo del suelo es un ejemplo de movimiento plano general. El neumático se traslada y gira a medida que es empujado a lo largo. Imagen de Joy Agyepong, CC-BY-SA 4.0.

Para analizar un cuerpo sometido a movimiento plano general, comenzaremos dibujando un diagrama de cuerpo libre del cuerpo en movimiento. Asegúrese de identificar el centro de masa, así como identificar todas las fuerzas conocidas y desconocidas, y los momentos conocidos y desconocidos que actúan sobre el cuerpo. También a veces es útil etiquetar cualquier dimensión clave, así como usar líneas discontinuas para identificar cualquier aceleración conocida o aceleración angular.

A continuación, pasamos a identificar las ecuaciones de movimiento. En esencia, esto significa volver a la Segunda Ley de Newton. Dado que se trata de un sistema de cuerpo rígido, incluimos tanto la versión traslacional como la rotacional.

\[ \sum \vec{F} = m * \vec{a} \]

\[ \sum \vec{M} = I * \vec{\alpha} \]

Como hicimos con los sistemas traslacionales anteriores, vamos a romper la ecuación de fuerza en componentes, convirtiendo la ecuación de un vector en dos ecuaciones escalares. Adicionalmente, es importante usar siempre el centro de masa para las aceleraciones en nuestras ecuaciones de fuerza y tomar los momentos y momento de inercia alrededor del centro de masa para nuestra ecuación de momento.

\[ \sum F_x = m * a_x \]

\[ \sum F_y = m * a_y \]

\[ \sum M_{COM} = I * \alpha \]

Conectando las fuerzas, momentos y aceleraciones conocidas en las ecuaciones anteriores, podemos resolver hasta tres incógnitas. Si existen más de tres incógnitas en las ecuaciones, a veces tendremos que volver a la cinemática para relacionar cantidades como la aceleración y la aceleración angular.

Videoconferencia que cubre esta sección, impartida por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/jhVDM7Zw_LM.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Un cilindro con un radio de 0.15 m y una masa de 10 kg se coloca en una rampa en un ángulo de 20 grados. Si el cilindro se libera del reposo y rueda sin deslizarse, ¿cuál es la aceleración angular inicial del cilindro y el tiempo requerido para que el cilindro ruede 5 metros?

Vista lateral de un cilindro de radio 150 milímetros y masa 10 kilogramos. El cilindro está ubicado en la parte superior de una rampa que forma un ángulo de 20° con el suelo. — Figura\(\PageIndex{2}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{1}\). Un cilindro uniforme rueda hacia abajo por una rampa que tiene una inclinación de 20°.

Solución: Video\(\PageIndex{2}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{1}\), proporcionado por el Dr. Majid Chatsaz. Fuente de YouTube: https://youtu.be/oQFVVC3SzZ0.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

El carrete de cable que se muestra a continuación tiene un peso de 50 lbs y tiene un momento de inercia de 0.28 slug-ft ². Asumir los rollos de carrete sin resbalar cuando aplicamos una tensión de 50 lb en el cable.

¿Cuál es la fuerza de fricción entre el carrete y el suelo?
¿Cuál es la aceleración del centro de masa del carrete?

Una pequeña fotografía muestra un carrete de cable que consiste en un cilindro de madera alrededor del cual se enrolla el cable, intercalado en sus dos bases por dos discos de madera de mayor diámetro. Un diagrama muestra una vista lateral de este carrete, con solo uno de los discos exteriores visible: el cilindro interior tiene un radio de 4 pulgadas y los discos exteriores tienen un radio de 8 pulgadas. El carrete se encuentra sobre una superficie plana, y el extremo libre del cable alrededor de su cilindro interior está siendo arrastrado hacia la derecha por una fuerza de tensión de 50 lbs. La porción del cable que se tira se extiende horizontalmente desde el punto más bajo del cilindro interno. — Figura\(\PageIndex{3}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{2}\). Un carrete de cable, que consiste en un cilindro central que envuelve el cable intercalado entre dos discos más grandes en sus bases, es tirado hacia la derecha por una fuerza de tensión en el extremo libre del cable. Imagen de carrete por Seeweb, CC-BY-SA 2.0.

Solución: Video\(\PageIndex{3}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{2}\), proporcionado por el Dr. Majid Chatsaz. Fuente de YouTube: https://youtu.be/RAhLP-kMYaQ.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Estás diseñando un lanzador Frisbee para lanzar un Frisbee de 40 cm de diámetro y 0.6 kg que puede modelarse como disco circular plano. Si quieres que el Frisbee tenga una aceleración lineal de 20 m/s ² y una aceleración angular de 50 rad/s ² como se muestra a continuación, ¿qué debería\(F_1\) y\(F_2\) ser?

Un gran círculo amarillo que representa al Frisbee se acelera linealmente hacia la parte superior de la página, a una velocidad de 20 m/s². También está girando en sentido antihorario, con una aceleración angular de 50 rad/s² en la misma dirección. El círculo experimenta la Fuerza 1 aplicada en su punto más a la izquierda y la Fuerza 2 aplicada en su punto más a la derecha, con ambos vectores de fuerza apuntando verticalmente hacia la parte superior de la página. — Figura\(\PageIndex{4}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{3}\). Un disco volador, representado como un círculo, acelera tanto lineal como angularmente como resultado de experimentar dos fuerzas aplicadas en la misma dirección en ubicaciones en lados opuestos de un diámetro.

Solución: Video\(\PageIndex{4}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{3}\), proporcionado por el Dr. Majid Chatsaz. Fuente de YouTube: https://youtu.be/DY9B7oU0j7k.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Una camioneta lleva una escalera de 30 kg y 6 metros de largo en un ángulo de 35 grados como se muestra a continuación. La escalera se acuña contra el portón trasero en A y hace contacto con el techo del camión en B. La distancia de A a B es de 2 metros. ¿A qué ritmo de aceleración esperaríamos que la escalera comenzara a girar hacia arriba?

Una camioneta va orientada hacia la derecha y acelerando en esa dirección. Una escalera que lleva el camión hace contacto con la plataforma del camión y el portón trasero en el punto A, luego se inclina hacia arriba y hacia la derecha para hacer contacto con la parte superior de la cabina del camión en el punto B a lo largo del camino. — Figura\(\PageIndex{5}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{4}\). Una camioneta en movimiento lleva una escalera que se inclina hacia adelante, con su extremo inferior apuntalado contra el portón trasero.

Solución: Video\(\PageIndex{5}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{4}\), proporcionado por el Dr. Majid Chatsaz. Fuente de YouTube: https://youtu.be/UO5XsDFxQoY.