14.1: Ecuaciones Impulso-Momento para un Cuerpo Rígido

Los conceptos de impulso e impulso proporcionan un tercer método para resolver problemas cinéticos en la dinámica. Generalmente este método se llama Método Impulso-Momentum, y se puede reducir a la idea de que el impulso ejercido sobre un cuerpo durante un tiempo dado será igual al cambio en el impulso de ese cuerpo. En un cuerpo rígido nos preocuparemos no sólo por el impulso lineal y el impulso, sino también por el impulso angular y el momento. Las ecuaciones de impulso lineal y angular están por debajo, con el nuevo término para impulso angular\((\vec{K})\) comenzando la ecuación de impulso angular.

\[ \vec{J} = m \vec{v}_f - m \vec{v}_i \]

\[ \vec{K} = I_G \vec{\omega}_f - I_G \vec{\omega}_i \]

Para problemas bidimensionales, podemos romper la ecuación de impulso lineal en dos componentes escalares para resolver. En el caso de problemas planos, simplemente necesitamos romper todas las fuerzas y velocidades en\(x\) y\(y\) componentes - ya que toda la rotación será alrededor del\(z\) eje -, la ecuación de impulso angular de impulso sigue siendo una ecuación única. Observe, sin embargo, que tendremos que tomar en cuenta el momento de inercia de masa alrededor del centro de masa del cuerpo; de manera similar, utilizaremos la velocidad del centro de masa al discutir la velocidad en las ecuaciones de impulso lineal de impulso.

\[ J_x = m v_{f,x} - m v_{i,x} \]

\[ J_y = m v_{f,y} - m v_{i,y} \]

\[ K_z = I_G \omega_f - I_G \omega_i \]

Impulso:

Como se discutió con las partículas, un impulso lineal en su forma más básica es una fuerza integrada a lo largo de un tiempo. Para una fuerza con una magnitud constante, podemos encontrar la magnitud del impulso multiplicando la magnitud de la fuerza por el tiempo en que se ejerce esa fuerza. Si la fuerza no es constante, simplemente integramos la función force durante el periodo de tiempo establecido. La dirección del vector de impulso será la dirección del vector de fuerza, y las unidades serán una fuerza multiplicada por un tiempo (Newton-segundos o libras-segundos, por ejemplo).

\ begin {align}\ text {Fuerza de magnitud constante:}\ quad &\,\ vec {J} =\ vec {F} * t\\\ text {Fuerza de magnitud no constante:}\ quad &\,\ vec {J} =\ int\ vec {F} (t)\ dt\ end {align}

Un impulso angular es similar a un impulso lineal, excepto que es el momento ejercido a lo largo del tiempo en lugar de la fuerza ejercida a lo largo del tiempo.

\ begin {align}\ text {Momento de magnitud constante:}\ quad &\,\ vec {K} =\ vec {M} * t\\\ text {Momento de magnitud no constante:}\ quad &\,\ vec {K} =\ int\ vec {M} (t)\ dt\ end {align}

Este momento puede llegar ya sea en forma de par aplicado directamente a un cuerpo, o bien una fuerza descentrada que cause un impulso lineal y angular al mismo tiempo. Todos los momentos deben tomarse alrededor del centro de masa del cuerpo.

Figura\(\PageIndex{1}\): Si tenemos dos esferas idénticas con fuerzas como se muestra arriba, la fuerza de la izquierda solo provocaría un impulso lineal a lo largo del tiempo, mientras que la fuerza de la derecha provocaría tanto un impulso lineal como un impulso angular a lo largo del tiempo.

Momento:

Como se discutió con las partículas, el momento lineal de un cuerpo será igual a la masa del cuerpo por su velocidad actual. Dado que la velocidad es un vector, el impulso también será un vector, teniendo tanto magnitud como dirección. A diferencia del impulso, que ocurre en algún tiempo establecido, el impulso se captura como una instantánea de un instante específico en el tiempo (generalmente justo antes y después de que se ejerza algún impulso). Las unidades para el momento lineal serán masa por unidad de distancia por unidad de tiempo. Esto suele ser kilogramos-metros por segundo en métricas, o slug-feet por segundo en unidades inglesas.

El momento angular, por otro lado, será igual al momento de inercia de masa del cuerpo (alrededor de su centro de masa) multiplicado por su velocidad angular actual. Es importante señalar que si bien el momento de inercia de masa permanece constante si el cuerpo no cambia de forma, una forma que sí cambia de forma probablemente tendrá cambios en los momentos de inercia de masa junto con cambios en la velocidad angular.

Figura\(\PageIndex{2}\): Durante un giro, los patinadores artísticos suelen atraer sus brazos y piernas hacia sus cuerpos para reducir su momento de inercia masiva. Con impulsos mínimos para cambiar el momento angular, la velocidad angular aumentará para que se conserve el momento angular. Imagen de Dominio Público por deerstop.

Videoconferencia que cubre esta sección, impartida por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/vPxE2AFXADE.

Practica\(\PageIndex{1}\)

Una sierra ingletadora tiene una velocidad de funcionamiento de 1500 rpm. La cuchilla y la armadura del motor tienen un peso combinado de 3 lbs y un radio de giro de 1 pulgada.

• ¿Cuál es el tiempo requerido para que la fricción del rodamiento solo (par = 0.015 pulgadas-lbs) para detener la cuchilla?
• ¿Cuál es el par que un sistema de frenado necesitaría aplicar para detener la pala en solo 0.25 segundos?

Figura\(\PageIndex{3}\): Un hombre corta madera con una sierra ingletadora. Imagen de dominio público por John F. Looney

Solución (aún no disponible):

Aún no está disponible.

Practica\(\PageIndex{2}\)

Una bola de boliche se modela como una esfera uniforme de 7 kilogramos, de 300 mm de diámetro. La bola se libera con una velocidad inicial de 6 m/s sobre un piso horizontal de madera (\(\mu_k\)= 0.1) con velocidad angular cero.

• ¿Cuánto tiempo pasa antes de que la pelota comience a rodar sin resbalar?
• ¿Cuál es la velocidad lineal de la pelota en este momento?

Figura\(\PageIndex{4}\): Una bola de boliche es liberada por un carril. Imagen de dominio público por Jerry Saslav.

Solución (aún no disponible):

Aún no está disponible.