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Ingeniería Mecánica
Mecánica Estructural (Wierzbicki)
1: El concepto de cepa
1.10: Relaciones de deformación y desplazamiento para placas circulantes

1.10: Relaciones de deformación y desplazamiento para placas circulantes

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Page ID: 85213

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La teoría de las placas circulares se formula en el sistema de coordenadas cilíndricas\((r, \theta, z)\). Los componentes correspondientes del vector de desplazamiento son\((u, v, w)\). En el resto de las notas se asume la deformación axisimétrica, lo que requeriría que la carga también fuera axisimétrica. Esta suposición trae cuatro implicaciones importantes

El componente circunferencial del desplazamiento es cero,\(v \equiv 0\)
No hay deformaciones de cizallamiento en el plano,\(\epsilon_{r\theta} = 0\)
Las deformaciones radiales y circunferenciales son deformaciones principales
Las ecuaciones diferenciales parciales para placas se reducen a la ecuación diferencial ordinaria donde el radio es la única variable espacial.

Se pueden obtener muchas soluciones simples de forma cerrada para placas circulares y anulares bajo diferentes condiciones de límite y carga. Por lo tanto, tales placas a menudo son tratadas como estructuras prototipo sobre las cuales ciertos principios físicos podrían explicarse fácilmente.

Las cepas de membrana en la superficie media se declaran sin derivación

\[\epsilon_{rr}^{\circ} = \frac{du}{dr} + \frac{1}{2} \left( \frac{dw}{dr} \right)^2\]

\[\epsilon_{\theta \theta}^{\circ} = \frac{u}{r}\]

Las dos curvaturas principales son

\[\kappa_{rr} = - \frac{d^2w}{dr^2}\]

\[\kappa_{\theta \theta} = -\frac{1}{r}\frac{dw}{dr}\]

Así pues, la suma de las deformaciones de flexión y membrana viene dada por

\[\epsilon_{rr}(r,z) = \epsilon_{rr}^{\circ}(r) + z\kappa_{rr}\]

\[\epsilon_{\theta \theta}(r,z) = \epsilon_{\theta \theta}^{\circ}(r) + z\kappa_{\theta \theta}\]

Se puede notar que la expresión para las deformaciones radiales y curvatura son idénticas a las de la viga cuando\(r\) es reemplazada por\(x\). Las expresiones en la dirección circunferencial son bastante diferentes.