2.7: Equilibrio en la teoría de las desviaciones moderadamente grandes de haces

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En el Capítulo 1, se demostró que la rotación finita del elemento de viga introdujo el término adicional\(\frac{1}{2}\theta^2\) en la expresión para la deformación axial. Veamos si la consideración de pendiente finita requeriría la modificación de la ecuación del equilibrio.

En la Figura (2.5.3) el elemento viga se muestra en la teoría de pequeñas deflexiones (rotación infinitesimal) y deflexiones moderadamente grandes (rotación finita).

2.7.1.png — Figura\(\PageIndex{1}\): En rotación finita la fuerza axial contribuye a la fuerza de corte total.

La llamada fuerza de corte efectiva\(V^*\) es una suma de la cizalladura transversal\(V\) y proyección de la fuerza axial en la dirección vertical. Así,

\[V^* = V + N \frac{dw}{dx} \label{3.74}\]

Tenga en cuenta que este resultado es válido siempre\(\cos \theta \approx 1\) y cuando y\(\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta\). ¿Cambiará la derivación del equilibrio de fuerzas? La respuesta es no.

2.7.2.png — Figura\(\PageIndex{2}\): Dirección de las fuerzas para equilibrar el elemento haz infinitesimal.

Para asegurar el equilibrio vertical

\[(V^* + dV^* ) − V^* + qdx = 0\]

\[\frac{dV^*}{dx} + q = 0 \label{3.76}\]

donde\(V^*\) se define por la Ecuación\ ref {3.74}. El equilibrio de las fuerzas horizontales (axiales) permanece igual que antes desde entonces\(\cos \theta \approx 1\).

\[\frac{dN}{dx} = 0 \label{3.77}\]

Eliminando\(V^*\) entre la Ecuación\ ref {3.74} y la Ecuación\ ref {3.76} da

\[\frac{dV}{dx} + \frac{d}{dx} \left(N\frac{dw}{dx}\right) + q = \frac{dV}{dx} + \frac{dN}{dx} \frac{dw}{dx} + N \frac{d^2w}{dx^2} + q = 0\]

El segundo término se desvanece a causa de la Ecuación\ ref {3.77}. La ecuación de equilibrio de fuerza modificada se convierte en

\[\frac{dV}{dx} + N \frac{d^2w}{dx^2} + q = 0 \label{3.79}\]

El nuevo término no lineal se desvanece si (i) la fuerza axial es cero o (ii) para pequeñas deflexiones y rotación. La ecuación de equilibrio de momento, Ecuación (2.6.15) no se ve afectada por rotaciones moderadamente grandes. Junto con la Ecuación\ ref {3.79} llegamos a la ecuación gobernante de la teoría de la desviación moderadamente grande de haces

\[\frac{d^2M}{dx^2} + N \frac{d^2w}{dx^2} + q = 0 \label{3.80}\]

Al cerrar esta sección, se deben hacer dos observaciones importantes. Todas las ecuaciones de equilibrio para deformaciones infinitesimales de cuerpos tridimensionales y pequeñas deflexiones de haces involucraron solo cantidades estáticas y sus gradientes\((M, V, N)\). En la teoría de las deflexiones moderadamente grandes hay acoplamiento entre cantidades estáticas y cinemáticas a través de los segundos términos no lineales.

En segundo lugar, la Ecuación\ ref {3.80} incluye el avance en la dirección en el plano (pasante\(N\)) y la dirección fuera del plano a través\(q\). Por lo tanto, después se le conoce como la ecuación que describe un haz/columnas.