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Ingeniería Mecánica
Mecánica Estructural (Wierzbicki)
7: Métodos Energéticos en Elasticidad
7.2: Equivalencia de la Energía Mínima Potencial y Principio de Trabajo Virtual

7.2: Equivalencia de la Energía Mínima Potencial y Principio de Trabajo Virtual

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Page ID: 85099

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El concepto de desplazamiento virtual\(\delta u_i\) es la columna vertebral de los métodos energéticos en la mecánica. El desplazamiento virtual es un pequeño desplazamiento hipotético que satisface la condición de límite cinemático. Las cepas virtuales\(\delta \epsilon_{ij}\) se obtienen a partir del desplazamiento virtual mediante

\[\delta \epsilon_{ij} = \frac{1}{2} (\delta u_{i,j} + \delta u_{j,i})\]

El incremento de tensión\(\delta \sigma_{ij}\) correspondiente al incremento de deformación se obtiene de la ley de elasticidad

\[\sigma_{ij} = C_{ijkl}\epsilon_{kl}\]

\[\delta \sigma_{ij} = C_{ijkl}\delta \epsilon_{kl}\]

Por lo tanto, al eliminar\(C_{ijkl}\)

\[\sigma_{ij} \delta \epsilon_{ij} = \epsilon_{ij}\delta \sigma_{ij} \label{8.15}\]

La energía de deformación total del sistema elástico\(\prod\) es la suma de la energía de deformación elástica almacenada y el trabajo de las fuerzas externas

\[\prod = \int_{V} \frac{1}{2} \sigma_{ij} \epsilon_{ij} dv − \int_{S} T_iu_i ds \]

7.2.1.png — Figura 8.4: Equivalencia de la energía de deformación y la energía de deformación complementaria.

En la ecuación anterior se da la tracción superficial y se considera constante. \(\sigma_{ij}\)Las tensiones no se consideran constantes porque están relacionadas con las cepas variables. Para el equilibrio, la energía potencial debe ser estacionaria,\(\delta \prod = 0\) o

\[\delta \int_{V} \frac{1}{2} \sigma_{ij} \epsilon_{ij} dv − \delta \int_{S} T_i u_i ds \\ = \frac{1}{2} \int_{V} \delta (\sigma_{ij} \epsilon_{ij}) dv − \int_{S} T_i \delta u_i ds \\ = \frac{1}{2} \int_{V} (\delta \sigma_{ij} \epsilon_{ij} + \sigma_{ij} \delta \epsilon_{ij}) dv − \int_{S} T_i \delta u_i ds = 0 \label{8.17}\]

Los dos términos en el integrando de la integral de volumen son iguales en vista de la Ecuación\ ref {8.15}. Por lo tanto, la Ecuación\ ref {8.17} se puede escribir en la forma equivalente

\[\int_{V} \sigma_{ij} \delta \epsilon_{ij} dv = \int_{S} T_i \delta u_i ds \]

que es precisamente el principio del trabajo virtual. La prueba anterior va también en sentido contrario. Asumiendo el principio del trabajo virtual se puede demostrar que la estacionariedad de la energía potencial total se mantiene.