7.3: Dos Formulaciones para Vigas

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En la teoría de flexión de las vigas, la energía potencial total es

\[\prod = \int_{0}^{l} \frac{1}{2} M\kappa dx − \int_{0}^{l} q(x)w dx \]

Usando la relación de curvatura de momento\(M = EI\kappa\), ya sea\(M\) o\(\kappa\) puede eliminarse de la Ecuación (7.2.7), lo que lleva a

\[U = \int_{0}^{l} \frac{1}{2} M\kappa dx = \begin{cases} \int_{0}^{l} \frac{EI}{2}\kappa^2 dx \quad \text{ displacement formulation} \\ \int_{0}^{l} \frac{1}{2 EI} M^2 dx \quad \text{ stress formulation} \end{cases}\]

En problemas estáticamente determinados, los momentos de flexión se pueden expresar en términos de la carga de línea prescrita o de la carga puntual. En este último caso la\(M = M(P)\) y la energía potencial total toma la forma

\[\prod = U(P) − P w \]

La representación anterior conducirá al teorema de Castigliano que se tratará más adelante en esta conferencia.

A continuación se cubrirá la formulación de desplazamiento más general. La curvatura es proporcional a la segunda derivada del desplazamiento. La expresión de la energía potencial total se convierte en

\[\prod = \int_{0}^{l} \frac{EI}{2} (w^{\prime\prime})^2 dx − \int_{0}^{l} q(x)w dx \]

El problema se reduce para expresar el campo de desplazamiento en términos de un número finito de parámetros libres\(w(x, a_i)\) y luego usar la condición estacionaria, Ecuación (7.1.14) para determinar estos parámetros desconocidos. Esto podría hacerse de tres maneras diferentes:

Representación polinomial o expansión de la serie Taylor
Expansión de la serie Fourier
Método de elemento finito o diferencia finita

Cada uno de los procedimientos anteriores se explicará por separado.