8.6: Pandeo de Columnas de Plástico
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Consideremos la columna de pasador y pasador para la que se encuentra la carga crítica de pandeo
\[P_c = \frac{\pi^2 EI}{l^2}\]
El esfuerzo crítico de pandeo correspondiente\(\sigma_c\) es
\[\sigma_c = \frac{P_c}{A} = \frac{\pi^2 E}{l^2} \frac{I}{A} \label{9.69}\]
donde\(A\) está el área de la sección transversal. Tenga en cuenta que la tensión se calcula sobre la trayectoria de equilibrio primario de prepandeo, para la cual no hay flexión. Denotando por\(\rho\) el radio de giro,\(A \rho^2 \equiv I\), Ecuación\ ref {9.69} se puede reescribir en términos de la relación de esbeltez\(\beta = l/\rho\)
\[\sigma_c = \pi^2 E \frac{1}{\beta^2} \label{9.70}\]
El esfuerzo de pandeo es pequeño para columnas largas y delgadas y está aumentando rápidamente para columnas cortas. A cierta longitud crítica de columna, se\(\sigma_y\) alcanzará el límite elástico del material, Figura (\(\PageIndex{1}\)).
La relación crítica de esbeltez a la que el esfuerzo de pandeo alcanza el límite elástico del material se obtiene de la ecuación\ ref {9.70} mediante el ajuste\(\sigma_c = \sigma_y\)
\[\beta_c = \frac{l_c}{\rho} = \pi \sqrt{\frac{E}{\sigma_y}} \]
Para darle la sensación de la esbeltez crítica, considere una columna de acero dulce con\(E = 210\) GPa,\(\sigma_y = 250\) MPa y sección transversal cuadrada\(A = h^2\), para la cual el radio de giro es\(\rho^2 = h^2/12\)
\[\left( \frac{l}{h} \right)_c = \pi \sqrt{\frac{E}{\sigma_y}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{3}} \approx 30 \]
Las columnas más delgadas que las críticas se doblarán elásticamente antes de ceder (trayectoria AB). La columna más corta o la columna fornida cederán antes de pandearse. ¿Qué pasará con esas columnas? Se deformarán plásticamente en compresión axial y eventualmente se doblarán en la gama plástica.
Gerrard (1948) extendió la capacidad predictiva de Equation\ ref {9.70} al rango plástico reemplazando el módulo elástico por el módulo tangente\(E_t = \frac{d\sigma}{d\epsilon}\)
\[(\sigma_c)_{\text{plastic}} = \pi^2 E_t \frac{1}{\beta^2}, \text{ for } \beta < \beta_c \label{9.73}\]
Por ejemplo, para un material plástico que obedezca a la regla de endurecimiento por potencia,
\[\sigma = B \cdot \epsilon^n \label{9.74a}\]
\[\frac{d\sigma}{d\epsilon} = nB\epsilon^{n−1} \label{9.74b}\]
Sustituyendo la ecuación\ ref {9.74a} -\ ref {9.74b} en la ecuación\ ref {9.73}, la deformación crítica de pandeo\(\epsilon_c\) es
\[\epsilon_c = \frac{\pi^2 n}{\beta^2} \]
Usando la regla de endurecimiento, la tensión de pandeo es
\[\sigma_c = B \left[ \frac{\pi^2 n}{\beta^2}\right]^n \]
En la ecuación anterior\(B\) se encuentra la amplitud de la ley de endurecimiento y\(n\) es el exponente de endurecimiento. Para la mayoría de los aceros estructurales\(n \approx 0.1-0.2\).
Las columnas muy cortas están más allá del alcance de la teoría elemental de vigas delgadas y esbeltas. Nunca se abrocharán sino que se aplanarán como panqueques.