10.1: Ecuaciones gobernantes y condiciones de contorno
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En las presentes notas el pandeo de la columna fue ampliamente estudiado en el Capítulo 8. La ecuación gobernante para una columna geométricamente perfecta es
\[EIw^{\mathrm{IV}} + Nw^{\prime\prime} = 0 \]
Una derivación paso a paso de la ecuación de pandeo de la placa se presentó en el Capítulo 6
\[D\nabla^4w + \bar{N}_{\alpha\beta}w_{,\alpha\beta} = 0 \]
donde\(N_{\alpha\beta}\) es un conjunto de parámetros constantes conocidos que deben satisfacer la ecuación gobernante del estado de prepandeo, dada por las Ecuaciones (6.1.10-6.1.12). El análisis clásico de pandeo de las placas se explica mejor en un ejemplo de una placa rectangular sometida a carga compresiva en una dirección, Figura (\(\PageIndex{1}\)).
La placa simplemente se soporta a lo largo de los cuatro bordes. Los bordes AB y CD se denominan bordes cargados porque la carga en el plano\(N\left[\frac{N}{M}\right]\) se aplica a estos bordes. Los otros dos bordes AD y BC se denominan bordes descargados. Las condiciones de contorno simplemente soportadas se aplican a la fuga de las deflexiones transversales y los momentos de flexión normales
\[w = 0 \quad \text{ on ABCD} \label{10.1.3}\]
\[M_n = 0 \quad \text{ on ABCD} \label{10.1.4}\]
La condición de límite separada debe formularse en la dirección en el plano en la dirección normal y tangencial
\[(N_n − \bar{N}_n)\delta u_n = 0 \]
\[(N_t − \bar{N}_t)\delta u_t = 0 \]
En el caso de la presente placa rectangular Ecuaciones\ ref {10.1.3} -\ ref {10.1.4} reducir a
\[\left.\begin{array}{l} \left(N_{x x}-\bar{N}_{x x}\right) \delta u_{x}=0 \\ \left(N_{x y}-\bar{N}_{x y}\right) \delta u_{y}=0 \end{array}\right\} \text { on AB and CD } \\ \left.\begin{array}{l} \left(N_{y y}-\bar{N}_{y y}\right) \delta u_{y}=0 \\ \left(N_{x y}-\bar{N}_{x y}\right) \delta u_{x}=0 \end{array}\right\} \text { on AD and BC } \]
En el presente problema se aplican las condiciones de límite de tensión y el tensor de carga externa es
\[\bar{N}_{\alpha\beta} = \begin{vmatrix} \bar{N} & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}, \quad N_{\alpha\beta} = \begin{vmatrix} N & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \]
Con el campo de fuerzas de membrana anterior, las ecuaciones de equilibrio se satisfacen de manera idéntica. De las ecuaciones constitutivas
\[N_{xx} = C(\epsilon_{xx}^{\circ} + \nu\epsilon_{yy}^{\circ}) \]
\[0 = C(\epsilon_{yy}^{\circ} + \nu\epsilon_{xx}^{\circ}) \]
Por lo tanto\(\epsilon_{yy}^{\circ} = −\nu\epsilon_{xx}^{\circ}\) y así\(N_{xx} = Eh\epsilon_{xx}^{\circ}\). El desplazamiento se calcula resolviendo dos ecuaciones
\[\epsilon_{xx}^{\circ} = \frac{du_x}{dx} \]
\[\epsilon_{yy}^{\circ} = \frac{du_y}{dy} \]
Con el origen del sistema de coordenadas colocado en el punto A de la Figura (\(\PageIndex{1}\)), La solución es
\[u_x = u_o \left( 1 − \frac{x}{a} \right), \quad u_y = \nu u_o \frac{y}{a}, \quad N = \frac{Eh}{a} u_o \]
Tenga en cuenta que se\(\bar{N}\) ha definido como positivo en compresión. Por lo tanto, la placa se comprimirá en la dirección x y se expandirá lateralmente en la dirección y debido al efecto de la relación Veneno. Al configurar el experimento o desarrollar el modelo FE, la placa debe dejarse libre en la dirección en el plano.