11.7: Derivación de la Condición de Rendimiento a partir de los Primeros Principios (Avanzados)
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El análisis parte de establecer las relaciones esfuerzo-deformación para el material elástico, cubiertas en el Capítulo 3. La ley general de Hook para el material isotrópico es
\[\epsilon_{ij} = \frac{1}{E} [(1 + \nu)\sigma_{ij} − \nu \sigma_{kk}\delta_{ij} ] \]
La ecuación constitutiva elástica también se puede escribir en una forma alternativa, por separado para la parte distorsionante y dilatacional
\[e_{ij} = \frac{1 + \nu}{E} s_{ij} \quad - \quad \text{ distorsion} \]
\[\epsilon_{kk} = \frac{1 − 2\nu}{E} \sigma_{kk} \quad - \quad \text{ dilatation}\]
El siguiente paso es invocar la propiedad básica del material elástico que la densidad de energía de deformación\(\bar{U}\), definida por
\[\bar{U} = \oint \sigma_{ij} d\epsilon_{ij} \]
no depende de la ruta de carga de la integral de línea anterior sino sólo del estado final. Así, evaluando la energía de deformación en la trayectoria de carga proporcional (recta), se obtiene
\[\bar{U} = \frac{1}{2} \sigma_{ij} \epsilon_{ij} \]
El siguiente paso es demostrar que la densidad de energía de deformación puede descomponerse en la parte distorsionante y dilatacional. Esto se hace recordando la definición del desviador de tensión\(s_{ij}\) y desviador de tensión\(e_{ij}\)
\[\sigma_{ij} = s_{ij}+ \frac{1}{3} \sigma_{kk}\delta_{ij} \]
\[\epsilon_{ij} = e_{ij} + \frac{1}{3} \epsilon_{kk}\delta_{ij} \]
Introduciendo la Ecuación (11.4.5) en la Ecuación (11.4.4), habrá cuatro términos en la expresión para\(\bar{U}\)
\[2\bar{U} = s_{ij}e_{ij} + s_{ij} \frac{1}{3} \epsilon_{kk}\delta_{ij} + \frac{1}{3} \sigma_{kk}\delta_{ij}e_{ij} + \frac{1}{3} \sigma_{kk}\delta_{ij} \frac{1}{3} \epsilon_{kk}\delta_{ij} \]
Obsérvese que\(s_{ij}\delta_{ij} = s_{ii} = 0\) de la definición, Ecuación (11.4.5). De igual manera\(e_{ij}\delta_{ij} = e_{jj} = 0\), también a partir de la definición. Por lo tanto el segundo y tercer término de la Ecuación (?? ) desaparecen y la densidad de energía se convierte
\[\bar{U} = \frac{1}{2} s_{ij}e_{ij} + \frac{1}{6} \sigma_{kk}\epsilon_{ll} = \bar{U}_{dist} + \bar{U}_{dil} \]
La atención se centra en la energía distorsionante, que con la ayuda de la ley de elasticidad Ecuación (11.4.2) se puede poner en la forma
\[\bar{U}_{dist} = \frac{1 + \nu}{2E} s_{ij}s_{ij}\]
El producto se\(s_{ij}s_{ij}\) puede expresar en términos de los componentes del tensor de tensión
\[\begin{align*} s_{ij}s_{ij} &= (\sigma_{ij} − \frac{1}{3} \sigma_{kk}\delta_{ij} )(\sigma_{ij} − \frac{1}{3} \sigma_{kk}\delta_{ij} ) \\[4pt] &= \sigma_{ij}\sigma_{ij} − \frac{1}{3} \sigma_{ij}\sigma_{kk}\delta_{ij} − \frac{1}{3} \sigma_{kk}\delta_{ij}\sigma_{ij} + \frac{1}{9} \sigma_{kk}\sigma_{kk}\delta_{ij}\delta_{ij} \\[4pt] &= \sigma_{ij}\sigma_{ij} − \frac{2}{3} \sigma_{kk}\sigma_{kk} + \frac{1}{3} \sigma_{kk}\sigma_{kk} \end{align*}\]
El resultado final es
\[\bar{U} = \frac{1 + \nu}{2E} (\sigma_{ij}\sigma_{ij} − \frac{1}{3} \sigma_{kk}\sigma_{kk}) \]
En 1904 el profesor polaco Maximiliano Tytus Huber propuso una hipótesis de que el rendimiento del material ocurre cuando la densidad de energía distorsionante alcanza un valor crítico
\[\sigma_{ij}\sigma_{ij} − \frac{1}{3} \sigma_{kk}\sigma_{kk} = C \]
donde\(C\) es la constante material que se debe determinar a partir de las pruebas. La calibración se realiza mediante la prueba de tensión uniaxial para la cual se encuentran los componentes del tensor de tensión
\[\sigma_{ij} = \begin{vmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \]
De la Ecuación (11.4.6) obtenemos
\[\sigma_{11}\sigma_{11} − \frac{1}{3} \sigma_{11}\sigma_{11} = \frac{2}{3} \sigma_{11}\sigma_{11} = C \]
El rendimiento ocurre cuando\(\sigma_{11} = \sigma_y\) es así\(C = \frac{2}{3} \sigma^2_y\). La forma más general de la condición de rendimiento de Huber es
\[(\sigma_{11} − \sigma_{22})^2 + (\sigma_{22} − \sigma_{33})^2 + (\sigma_{33} − \sigma_{11})^2 + 6(\sigma^2_{12} + \sigma^2_{23} + \sigma^2_{31}) = 2\sigma^2_y \]
que fue el punto de partida del análisis de diversos casos especiales en la Sección 11.4. Una forma similar de la condición de rendimiento para la tensión plana fue derivada por von Mises en 1913, basada en la consideración de deslizamiento plástico y luego fue extendida al caso 3-D por Hencky. La presente forma se reforma en la literatura como el criterio de rendimiento de Huber-Mises-Hencky, llamado von Mises para abreviar.