2.2: Recipientes a Presión

Introducción

Una buena parte de la Mecánica de Materiales se puede introducir completamente dentro de los confines de elementos estructurales con tensión uniaxial, y este fue el objetivo de los módulos anteriores. Pero claro que el mundo real es tridimensional, y necesitamos extender estos conceptos en consecuencia. Ahora damos el siguiente paso, y consideramos aquellas estructuras en las que la carga sigue siendo sencilla, pero donde las tensiones y tensiones requieren ahora una segunda dimensión para su descripción. Tanto por su valor en la demostración de efectos bidimensionales como por su uso práctico en el diseño mecánico, recurrimos a un tipo estructural un poco más complicado: el recipiente a presión de pared delgada.

Estructuras como tuberías o botellas capaces de retener presión interna han sido muy importantes en la historia de la ciencia y la tecnología. Si bien los antiguos romanos habían desarrollado la ingeniería municipal a un alto orden de muchas maneras, la necesidad misma de su impresionante sistema de grandes acueductos para transportar agua se debía a que aún no tenían tuberías que pudieran mantener la presión interna. El agua puede fluir cuesta arriba cuando es impulsada por la presión hidráulica del reservorio a una elevación más alta, pero sin una tubería que contenga presión, se debe construir un acueducto para que el agua pueda correr cuesta abajo desde el embalse hasta el destino.

Las cabinas de avión son otro ejemplo familiar de estructuras que contienen presión. Ilustran muy dramáticamente la importancia del diseño adecuado, ya que la atmósfera en la cabina tiene suficiente energía asociada a su relativa presurización en comparación con el aire fino exterior que el crecimiento catastrófico de grietas es una posibilidad real. De ello han resultado una serie de tragedias comerciales fatales, particularmente famosas siendo las aeronaves Comet que se desintegraron en vuelo en la década de 1950 (1T. Bishop, “Fatiga y los desastres del cometa”, Metal Progress, Vol. 67, pp. 79—85, mayo de 1955.) y la pérdida de una sección de 5 metros del techo en la sección de primera clase de un Aloha Airlines B737 en abril de 1988 (E.E. Murphy, “Aging Aircraft: Too Old to Fly?” IEEE Spectrum, pp. 28—31, junio de 1989.)

En los apartados a seguir, esbozaremos los medios para determinar tensiones y deformaciones en estructuras como estas, ya que este es un primer paso vital en el diseño contra fallas.

Destaca

En dos dimensiones, el estado de tensión en un punto se ilustra convenientemente dibujando cuatro líneas perpendiculares que podemos ver como representando cuatro planos adyacentes de átomos tomados de una posición arbitraria dentro del material. Los planos sobre este “cuadrado de tensión” que se muestran en la Figura 1 pueden identificarse por las orientaciones de sus normales; el plano horizontal superior es un\(+y\) plano, ya que su normal apunta en la\(+y\) dirección. El plano vertical de la derecha es un\(+x\) plano. De igual manera, los planos vertical izquierdo y horizontal inferior son\(-y\) y\(-x\), respectivamente.

Figura 1: Estado de tensión en dos dimensiones: el cuadrado de tensión.

La convención de signos de uso común considera las tensiones de tracción como positivas y las tensiones de compresión como negativas. Un esfuerzo de tracción positivo que actúa en la\(x\) dirección se dibuja en la\(+x\) cara como una flecha apuntando en la\(+x\) dirección. Pero para que el cuadrado de tensión esté en equilibrio, esta flecha debe ser balanceada por otra que actúe sobre la\(-x\) cara y apunte en la\(-x\) dirección. Por supuesto, estas no son dos tensiones separadas, sino que simplemente indican que el estado de tensión es uno de tensión uniaxial. Por lo tanto, una tensión positiva se indica con una flecha + en una cara +, o una flecha en una cara. Las tensiones de compresión son lo contrario: a - flecha en una cara + o una flecha + en una cara -. En la Figura 2 se muestra un estado de tensión con componentes tanto positivos como negativos.

Figura 2: La convención de signos para tensiones normales.

Considere ahora un vaso esférico simple de radio\(r\) y grosor de pared\(b\), como un globo redondo. Una presión interna\(p\) induce esfuerzos de tracción tangenciales biaxiales iguales en las paredes, que se pueden denotar usando\(r\theta \phi\) coordenadas esféricas como\(\sigma_{\theta}\) y\(\sigma_{\phi}\).

Figura 3: Tensiones de pared en un recipiente a presión esférico.

La magnitud de estas tensiones se puede determinar considerando un diagrama de cuerpo libre de la mitad del recipiente a presión, incluyendo su fluido interno presurizado (ver Figura 3). Se supone que el propio fluido tiene un peso insignificante. La presión interna genera una fuerza de\(pA = p(\pi r^2)\) actuación sobre el fluido, la cual se equilibra por la fuerza obtenida multiplicando la tensión de la pared por su área,\(\sigma_{\phi} (2\pi rb)\). Equiparando estos:

\[p(\pi r^2) = \sigma_{\phi} (2\pi rb)\nonumber\]

\[\sigma_{\phi} = \dfrac{pr}{2b}\]

Tenga en cuenta que este es un resultado determinado estáticamente, sin dependencia de las propiedades del material. Además, tenga en cuenta que las tensiones en dos direcciones circunferenciales ortogonales cualesquiera son las mismas; es decir\(\sigma_{\phi} = \sigma_{\theta}\).

La precisión de este resultado depende de que el recipiente sea de “paredes delgadas”, es decir\(r \gg b\). En las superficies de la pared del vaso,\(\sigma_r\) debe estar presente una tensión radial para equilibrar la presión allí. Pero la tensión radial de la superficie interna es igual a\(p\), mientras que las tensiones circunferenciales son\(p\) veces la relación (\(r/2b\)). Cuando esta relación es grande, las tensiones radiales se pueden descuidar en comparación con las tensiones circunferenciales.

Figura 4: Diagrama de cuerpo libre para la tensión axial en un recipiente de extremo cerrado.

Las tensiones\(\sigma_z\) en la dirección axial de un recipiente a presión cilíndrico con extremos cerrados se encuentran utilizando este mismo enfoque que se ve en la Figura 4, y dando la misma respuesta:

\[p(\pi r^2) =\sigma_z (2\pi r) b\nonumber\]

\[\sigma_z = \dfrac{pr}{2b}\]

Figura 5: Tensiones de aro en un recipiente a presión cilíndrico.

Sin embargo, se necesita una vista diferente para obtener las tensiones circunferenciales o “circulares” σθ. Considerando una sección axial de unidad de longitud, el balance de fuerzas para la Figura 5 da

\[2 \sigma_{\theta} (b \cdot 1) = p(2r \cdot 1)\nonumber\]

\[\sigma_{\theta} =\dfrac{pr}{b}\]

Tenga en cuenta que las tensiones circulares son el doble de las tensiones axiales. Este resultado —diferentes tensiones en diferentes direcciones— ocurre más a menudo que no en las estructuras de ingeniería, y muestra una de las ventajas convincentes para los materiales de ingeniería que se pueden hacer más fuertes en una dirección que en otra (la propiedad de la anisotropía). Si un recipiente a presión construido de material isotrópico convencional se hace lo suficientemente grueso como para mantener las tensiones circunferenciales por debajo del rendimiento, será dos veces más fuerte de lo que necesita ser en la dirección axial. En aplicaciones poniendo una prima en el peso esto bien puede ser algo a evitar.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Figura 6: Recipiente a presión cilíndrico filamentoso.

Considera un recipiente a presión cilíndrico para ser construido por devanado de filamentos, en el que las fibras se depositan en un ángulo helicoidal prescrito\(\alpha\) (ver Figura 6). Tomando un cuerpo libre de dimensión axial unitaria a lo largo del cual\(T\) están presentes\(n\) las fibras que transmiten tensión, la distancia circunferencial cortada por estas mismas\(n\) fibras es entonces\(\tan \alpha\). Para equilibrar las tensiones circunferenciales y axiales, las tensiones de las fibras deben satisfacer las relaciones

aro:\(nT \sin \alpha = \dfrac{pr}{b} (1) (b)\)

axial:\(nT \cos \alpha = \dfrac{pr}{2b} (\tan \alpha) (b)\)

Dividiendo la primera de estas expresiones por la segunda y reordenando, tenemos

\[\tan^2 \alpha = 2, \alpha = 54.7^{\circ}\nonumber\]

Este es el “ángulo mágico” para los vasos enrollados con filamentos, en el que las fibras están inclinadas lo suficiente hacia la dirección circunferencial para hacer que el vaso sea dos veces más fuerte circunferencialmente que axialmente. Las mangueras de extinción de incendios también se trenzan en este mismo ángulo, ya que de lo contrario la boquilla saltaría hacia adelante o hacia atrás cuando se abre la válvula y las fibras intentan alinearse en la dirección correcta.

Deformación: el efecto Poisson

Cuando un recipiente a presión tiene extremos abiertos, como con una tubería que conecta una cámara con otra, no habrá tensión axial ya que no hay tapas de extremo para que el fluido empuje contra ellas. Entonces solo\(\sigma_{\theta} = pr/b\) existe el estrés del aro, y la tensión de aro correspondiente es dada por la Ley de Hooke como:

\[\epsilon_{\theta} = \dfrac{\sigma_{\theta}}{E} = \dfrac{pr}{bE}\nonumber\]

Dado que esta cepa es el cambio de circunferencia\(\delta C\) dividido por la circunferencia original\(C = 2\pi r\) podemos escribir:

\[\delta_C = C_{\epsilon_{\theta}} = 2\pi r \dfrac{pr}{bE}\nonumber\]

El cambio de circunferencia y el correspondiente cambio de radio\(\delta_r\) están relacionados por\ (delta_r =\ delta_c /2\ pi, por lo que la expansión radial es:

\[\delta_r = \dfrac{pr^2}{bE}\]

Esto es análogo a la expresión\(\delta = PL/AE\) para el alargamiento de una muestra de tracción uniaxial.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Considera un cilindro compuesto, uno con un cilindro de latón encajado cómodamente dentro de otro de acero como se muestra en la Figura 7 y sometido a una presión interna de\(p = 2\) Mpa.

Figura 7: Un recipiente a presión compuesto.

Cuando la presión se pone dentro del cilindro interior, naturalmente intentará expandirse. Pero el cilindro exterior empuja hacia atrás para limitar esta expansión, y\(p_c\) se desarrolla una “presión de contacto” en la interfaz entre los dos cilindros. El cilindro interior ahora se expande según la diferencia\(p - p_c\), mientras que el cilindro exterior se expande según lo exija\(p_c\) solo. Pero como los dos cilindros obviamente van a permanecer en contacto, debería quedar claro que las expansiones radiales de los cilindros interior y exterior deben ser las mismas, y podemos escribir

\[\delta_b = \delta_s \to \dfrac{(p - p_c) r_b^2}{E_b b_b} = \dfrac{p_c r_s^2}{E_s b_s}\nonumber\]

donde los\(s\) subíndices\(a\) y se refieren a los cilindros de latón y acero respectivamente.

Sustituyendo valores numéricos y resolviendo la presión de contacto desconocida\(p_c\):

\[p_c = 976 \text{ KPa}\nonumber\]

Ahora sabiendo\(p_c\), podemos calcular las expansiones radiales y las tensiones si se desea. Por ejemplo, la tensión del aro en el cilindro interior de latón es

\[\sigma_{\theta, b} = \dfrac{(p - p_c) r_b}{b_b} = 62.5 \text{ MPa} (= 906 \text{ psi})\nonumber\]

Tenga en cuenta que la tensión ya no es independiente de las propiedades del material (\(E_b\)y\(E_s\)), dependiendo como lo hace de la presión de contacto pc que a su vez depende de las rigideces del material. Esta pérdida de determinación estática ocurre aquí porque el problema tiene una mezcla de algunos valores de límite de carga (la presión interna) y algunos valores de límite de desplazamiento (la restricción de que ambos cilindros tienen el mismo desplazamiento radial).

Si un recipiente cilíndrico tiene extremos cerrados, las tensiones axiales y circunferenciales aparecen juntas, como lo dan las ecuaciones 2.2.2 y 2.2.3. Ahora las deformaciones son algo sutiles, ya que una deformación positiva (extensible) en una dirección también aportará una tensión negativa (compresiva) en la otra dirección, así como estirar una banda de goma para hacerla más larga en una dirección la hace más delgada en las otras direcciones (ver Figura 8). Esta contracción lateral que acompaña a una extensión longitudinal se llama efecto Poisson, (Después del matemático francés Simeón Denis Poisson, (1781—1840).) y la relación de Poisson es una propiedad material definida como

\[\nu = \dfrac{-\epsilon_{\text{lateral}}}{\epsilon_{\text{longitudinal}}}\]

donde el signo menos representa el cambio de signo entre las deformaciones laterales y longitudinales. La ley tensión-deformación, o “constitutiva” del material debe extenderse para incluir estos efectos, ya que la tensión en cualquier dirección dada está influenciada no solo por la tensión en esa dirección, sino también por las cepas de Poisson aportadas por las tensiones en las otras dos direcciones.

Figura 8: El efecto Poisson.

Un material sometido solo a una tensión\(\sigma_x\) en la\(x\) dirección experimentará una deformación en esa dirección dada por\(\epsilon_x = \sigma_x/E\). Una tensión\(\sigma_y\) que actúa sola en la\(y\) dirección inducirá una deformación\(x\) -dirección dada a partir de la definición de la relación de Poisson de\(\epsilon_x = −\nu \epsilon_y = -\nu (\sigma_y/E)\). Si el material está sometido a ambas tensiones\(\sigma_x\) y\(\sigma_y\) a la vez, los efectos pueden superponerse (ya que las ecuaciones gobernantes son lineales) para dar:

\[\epsilon_x = \dfrac{\sigma_x}{E} - \dfrac{\nu \sigma_y}{E} = \dfrac{1}{E} (\sigma_x - \nu \sigma_y)\]

De manera similar para una deformación en la\(y\) dirección:

\[\epsilon_y = \dfrac{\sigma_y}{E} - \dfrac{\nu \sigma_x}{E} = \dfrac{1}{E} (\sigma_y - \nu \sigma_x)\]

El material se encuentra en un estado de tensión plana si ningún componente de tensión actúa en la tercera dimensión (la\(z\) dirección, aquí). Esto ocurre comúnmente en láminas delgadas cargadas en su plano. Los\(z\) componentes de la tensión desaparecen en las superficies porque no hay fuerzas que actúen externamente en esa dirección para equilibrarlas, y estos componentes no tienen suficiente distancia de espécimen en la dimensión delgada a través del grosor para acumularse a niveles apreciables. Sin embargo, un estado de tensión plana no es un estado de deformación plana. La lámina experimentará una deformación en la\(z\) dirección igual a la cepa de Poisson aportada por las\(y\) tensiones\(x\) y:

\[\epsilon_z = -\dfrac{\nu}{E} (\sigma_x +\sigma_y)\]

En el caso de recipientes a presión cilíndricos de extremo cerrado, la Ecuación 2.2.6 o 2.2.7 se puede usar directamente para dar la tensión circunferencial como

\[\epsilon_{\theta} = \dfrac{1}{E} (\sigma_{\theta} - \nu \sigma_{z}) = \dfrac{1}{E} (\dfrac{pr}{b} - \nu \dfrac{pr}{2b}) = \dfrac{pr}{bE} (1 - \dfrac{\nu}{2}) \nonumber\]

La expansión radial es entonces

\[\delta_r = r\epsilon_{\theta} = \dfrac{pr^2}{bE} (1 - \dfrac{\nu}{2})\]

Tenga en cuenta que la expansión radial se reduce por el término de Poisson; la deformación axial contribuye a un acortamiento en la dirección radial.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Es común construir recipientes a presión mediante el uso de pernos para sujetar las placas de extremo en un cilindro de extremo abierto, como se muestra en la Figura 9. Aquí digamos por ejemplo el cilindro está hecho de aleación de cobre, con radio\(R = 5''\), longitud\(L = 10''\) y grosor de pared\(b_c = 0.1''\). Las placas rígidas se sujetan a los extremos mediante tuercas roscadas en pernos de acero de cuatro\(3/8''\) diámetros, cada uno con 15 roscas por pulgada. A cada una de las tuercas se le da un 1/2 giro adicional más allá del punto de ajuste justo, y deseamos estimar la presión interna que solo causará fugas incipientes del vaso.

Figura 9: Un recipiente a presión con sujeción de pernos.

A medida que aumenta la presión\(p\) dentro del cilindro,\(F = p(\pi R^2)\) se ejerce una fuerza sobre las placas de extremo, y esta es reaccionada igualmente por los cuatro pernos de restricción; cada uno siente así una fuerza\(F_b\) dada por

\[F_b = \dfrac{p(\pi R^2)}{4}\nonumber\]

Los pernos luego se estiran en una cantidad\(\delta_b\) dada por:

\[\delta_b = \dfrac{F_b L}{A_b E_b}\nonumber\]

Es tentador decir que el recipiente comenzará a tener fugas cuando los pernos se hayan estirado en una cantidad igual al apriete original; es decir, 1/2 vueltas/15 vueltas por pulgada. Pero a medida que\(p\) aumenta, el propio cilindro también se deforma; experimenta una expansión radial según la Ecuación 2.2.4. La expansión radial por sí misma no causa fugas, sino que va acompañada de una contracción de Poisson\(\delta_c\) en la dirección axial. Esto significa que los pernos no tienen que estirarse hasta antes de que las placas de restricción se levanten transparentes. (Justo cuando comienza la fuga, las placas ya no están empujando sobre el cilindro, por lo que la carga axial de las placas en el cilindro se vuelve cero y no es necesaria en el análisis).

Las relaciones que rigen la fuga, además de las expresiones anteriores para\(\delta_b\) y, por lo tanto,\(F_b\) son:

\[\delta_b + \delta_c = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{15}\nonumber\]

donde aquí los subíndices\(b\) y\(c\) se refieren a los pernos y al cilindro respectivamente. La deformación axial\(\delta_c\) del cilindro es justamente\(L\) multiplicada por la tensión axial\(\epsilon_z\), que a su vez viene dada por una expresión análoga a la Ecuación 2.2.7:

\[\delta_c = \epsilon_z L = \dfrac{L}{E_c} [\sigma_z - \nu \sigma_{\theta}]\nonumber\]

Dado que\(\sigma_z\) se convierte en cero justo cuando la placa se levanta y\(\sigma_{\theta} = pR/b_c\), esto se convierte

\[\delta_c = \dfrac{L}{E_c} \dfrac{\nu p R}{b_c}\nonumber\]

Combinando las relaciones anteriores y resolviendo\(p\), tenemos

\[p = \dfrac{2A_b E_b E_c b_c}{15RL (\pi R E_c b_c + 4 \nu A_b E_b)}\nonumber\]

Al sustituir los valores geométricos y numéricos de los materiales, esto da

\[p = 496 \text{ psi}\nonumber\]

La relación de Poisson es un parámetro adimensional que proporciona una buena idea de la naturaleza del material. Las principales clases de materiales estructurales de ingeniería caen perfectamente en orden cuando se clasifican según la proporción de Poisson:

Clase de material	Proporción de Poisson\(\nu\)
Cerámica	0.2
Metales	0.3
Plásticos	0.4
Caucho	0.5

(Los valores aquí son aproximados.) Se observará que los materiales más quebradizos tienen la relación de Poisson más baja, y que los materiales parecen volverse generalmente más flexibles a medida que aumenta la relación de Poisson. La capacidad de un material para contraerse lateralmente a medida que se extiende longitudinalmente está relacionada directamente con su movilidad molecular, siendo el caucho como líquido y la cerámica está muy unida.

La relación de Poisson también está relacionada con la compresibilidad del material. El módulo aparente\(K\), también llamado módulo de compresibilidad, es la relación de la presión hidrostática\(p\) necesaria para una disminución relativa unitaria de volumen\(\Delta V/V\):

\[K = \dfrac{-p}{\Delta V/V}\]

donde el signo menos indica que una presión compresiva (tradicionalmente considerada positiva) produce un cambio de volumen negativo. Se puede demostrar que para materiales isotrópicos el módulo aparente está relacionado con el módulo elástico y la relación de Poisson como

\[K = \dfrac{E}{3(1 - 2\nu)}\]

Esta expresión se vuelve sin límites a medida que ν se acerca a 0.5, de manera que el caucho es esencialmente incompresible. Además,\(\nu\) no puede ser mayor a 0.5, ya que eso significaría que el volumen aumentaría con la aplicación de presión positiva. Una cerámica en el extremo inferior de las proporciones de Poisson, por el contrario, está tan unida que es incapaz de reorganizarse para “llenar los agujeros” que se crean cuando se tira de un espécimen en tensión; no tiene más remedio que sufrir un aumento de volumen. Paradójicamente, las cerámicas fuertemente unidas tienen menores módulos de volumen que los elastómeros muy móviles.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Un recipiente a presión cilíndrico de extremo cerrado construido de acero al carbono tiene un espesor de pared de\(0.075''\), un diámetro de\(6''\), y una longitud de\(30''\). ¿Cuáles son las tensiones de aro y axiales\(\sigma_{\theta}, \sigma_z\) cuando el cilindro lleva una presión interna de 1500 psi? ¿Cuál es el desplazamiento radial\(\delta_r\)?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

¿Cuál será la presión segura del cilindro en el problema anterior, utilizando un factor de seguridad de dos?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Un recipiente a presión compuesto con dimensiones como se muestra está construido de una capa interna de aluminio y una capa externa sobreenvuelta en carbono. Determinar las tensiones circunferenciales (\(\sigma_{\theta}\)) en las dos capas cuando la presión interna es de 15 MPa. El módulo de la capa de grafito en la dirección circunferencial es de 15.5 GPa.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Un cilindro de cobre se ajusta cómodamente dentro de uno de acero como se muestra. ¿Cuál es la presión de contacto generada entre los dos cilindros si la temperatura se incrementa en 10\(^{\circ} C\)? ¿Y si el cilindro de cobre está en el exterior?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Tres cilindros se colocan juntos para hacer un recipiente a presión compuesto. El cilindro interior es de acero al carbono con un espesor de 2 mm, el cilindro central es de aleación de cobre con un espesor de 4 mm, y el cilindro exterior es de aluminio con un espesor de 2 mm. El radio interior del cilindro interior es de 300 mm y la presión interna es de 1.4 MPa. Determinar el desplazamiento radial y la tensión circunfrencial en el cilindro interior.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Un recipiente a presión se construye con un cilindro de acero abierto de diámetro\(6''\)\(8''\), longitud y grosor de pared\(0.375''\). Los extremos están sellados con placas de extremo rígidas sostenidas por pernos de cuatro\(1/4''\) diámetros. Los pernos tienen 18 roscas por pulgada, y las tuercas de retención se han apretado 1/4 de vuelta más allá de su punto de ajuste justo antes de aplicar presión. Encuentre la presión interna que solo provocará fugas incipientes del vaso.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Un cilindro de aluminio, con radio\(1.5''\) interior y grosor\(0.1''\), debe montarse dentro de un cilindro de acero de espesor\(0.25''\). El radio interior del cilindro de acero es\(0.005''\) menor que el radio exterior del cilindro de aluminio; esto se llama ajuste de interferencia. Para encajar los dos cilindros juntos inicialmente, el cilindro interior se contrae por enfriamiento. ¿En cuánto se debe bajar la temperatura del cilindro de aluminio para que quede dentro del cilindro de acero? Una vez que el cilindro compuesto ensamblado se ha calentado a temperatura ambiente, ¿cuánta presión de contacto se desarrolla entre el aluminio y el acero?

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Suponiendo que el material en un balón esférico de caucho puede modelarse como linealmente elástico con módulo\(E\) y relación de Poisson\(\nu = 0.5\), mostrar que la presión interna\(p\) necesaria para expandir el balón varía con la relación de expansión radial\(\lambda_r = r/r_0\) como

\[\dfrac{pr_0}{4Eb_0} = \dfrac{1}{\lambda_r^2} - \dfrac{1}{\lambda_r^3}\nonumber\]

donde\(b_0\) está el espesor inicial de la pared. Trazar esta función y determinar sus valores críticos.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Repita el problema anterior, pero usando la relación constitutiva para caucho:

\[t\sigma_x =\dfrac{E}{3}\left (\lambda_x^2 - \dfrac{1}{\lambda_x^2 \lambda_y^2} \right )\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

¿Qué presión se necesita para expandir un globo, inicialmente\(3''\) en diámetro y con un espesor de pared de\(0.1''\), a un diámetro de\(30''\)? El balón está construido de un caucho con una gravedad específica de 0.9 y un peso molecular entre entrecruzamientos de 3000 g/mol. La temperatura es\(20^{\circ}\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Después de inflar el balón del problema anterior, la temperatura se incrementa en 25C. ¿Cómo cambian la presión y el radio?