13.1: Análisis de funciones objetivas

En un módulo anterior derivamos dos funciones objetivas diferentes con el propósito de resolver el problema de equilibrio flash. Echemos un vistazo más de cerca a estas ecuaciones:

(13.1a)
(13.1b)

Estas ecuaciones surgen de los simples equilibrios molares y del concepto de relaciones de equilibrio. Como discutimos antes, si nos dan {z _i; i = 1,2,..., n} y, si por alguna razón, digamos, somos capaces de obtener todas las proporciones de equilibrio {K _{i; i} = 1,2,..., n}; lo único desconocido en estas funciones objetivas sería la fracción de vapor 'α _g'.

Una vez que seamos capaces de resolver para este α _g, no tendremos ningún problema en aplicar ninguna combinación de ecuaciones (12.5), (12.7) y (12.11) para resolver para todas las composiciones de vapor y líquido en equilibrio {y _i, x _i}:

(12.5)
(12.7)
(12.11)

Con toda esta información, el problema de VLE estaría completamente resuelto. Con la información compositiva y el uso de ecuaciones adecuadas de estado y correlaciones, podemos entonces encontrar todas las demás propiedades relacionadas, como densidades, viscosidades, pesos moleculares, etc. Es por ello que llamamos a estas las funciones objetivas; una vez que las hemos resuelto, hemos logrado las objetivo del cálculo de VLE.

Por supuesto que queda una pregunta sin respuesta — ¿cómo se resuelve para ese 'α _g ', que está enterrado dentro de esas expresiones? Y en segundo lugar, ¿cuál de las dos funciones objetivas que tenemos a nuestro alcance vamos a utilizar? Resulta que las respuestas a estas preguntas están ligadas entre sí. De hecho, la función objetiva adecuada que usaremos para resolver para 'α _g' es la misma ecuación que simplifica el proceso de resolución para ese desconocido.

Para llegar a estas respuestas, lo primero que tenemos que notar es que ambas expresiones son no lineales en α _g. Esto significa que no podemos expresar 'α _g' explícitamente en función de las otras variables. ¿Qué utilizamos para resolver ecuaciones que no son lineales en una variable? ¿Esto no suena una campana? Aplicamos técnicas iterativas. Y la técnica iterativa clásica es el procedimiento Newton-Raphson. Ahora podemos dar una respuesta a las dos preguntas que acabamos de hacer.

Una característica distintiva de cualquier procedimiento de Newton-Raphson es que el éxito del procedimiento depende en gran medida de la elección de la suposición inicial para la variable considerada. De hecho, es muy común decir que para que Newton-Raphson tenga éxito, la suposición inicial debe ser lo más cercana posible a la solución real. Esta 'enfermedad' empeora cuando se trata de funciones no monótonas. En una función monótona, las derivadas en cada punto son siempre del mismo signo —la función aumenta o disminuye monótonamente. Para Newton-Raphson, esto significa que no hay valles ni picos que puedan llevar el procedimiento a falsas soluciones. Si aplicas Newton-Raphson a una función monótona y continua en todas partes, el éxito del procedimiento no depende de la suposición inicial. De hecho, si aplicas Newton-Raphson a una función monótona que también es continua en cada punto del dominio, no importa en absoluto por dónde empieces: siempre encontrarás la solución. Puede que lleve tiempo, pero podrá converger hacia una solución única.

¿Por qué importa esto cuando se trata de ecuaciones (13.1)? El caso es que las ecuaciones (13.1) no son monótonas, y esto no facilita las cosas. Si, como ejercicio, los trazas en función de α _g o tomas la derivada, te darás cuenta de que ambas funciones pueden cambiar el signo de sus primeras derivadas por diferentes valores de α _g.

Esto plantea un problema, obviamente. No obtendrá una solución única aplicando Newton-Raphson, y es posible que termine con la solución equivocada. Rachford y Rice (1952) reconocieron este problema y se les ocurrió una sugerencia. Propusieron una nueva función objetiva, basada en ecuaciones (13.1), que simplifica la aplicación del procedimiento Newton-Raphson.

Combinaron ecuaciones (13.1) por resta para producir:

(13.2)

De ahí que la nueva función objetiva se convierta en:

(13.3)

La ecuación (13.3) es conocida en la literatura como la Función Objetivo Rachford-Arroz. Rachford y Rice combinaron dos funciones objetivas muy conocidas en una sola función objetiva. ¿Hay ventajas en este “nuevo” enfoque?

La maravillosa noticia es que la ecuación (13.3) es monótona. La implicación de esto es que la ecuación (13.3) es más adecuada para la aplicación de Newton-Raphson que las ecuaciones (13.1). ¿Cómo demuestra el carácter monótono de la función objetiva de Rachford y Rice? Para ello, tomamos la primera derivada de la función:

(13.4)

Cada ítem dentro del signo de suma es positivo —esto está garantizado por los cuadrados en el numerador y el denominador y el hecho de que todas las composiciones son positivas. Por lo tanto, la expresión derivada en (13.4) no tiene más remedio que ser negativa, y se ha demostrado que la función Rachford-Rice Objetivo es una función monótonamente decreciente. Con este enfoque, Rachford-Rice eliminó un gran dolor de cabeza del problema de Equilibrios Vapor-Líquido.

Una debilidad restante de la función objetiva de Rachford-Rice es que, aunque monótona, no es continua en todos los puntos del dominio. Por inspección, se puede ver que la función tiene 'n' singularidades (tantas singularidades como componentes en la mezcla), porque se vuelve singular a valores de 'α _g' iguales a:

(13.5)

De ahí que aún pueda enfrentar problemas de convergencia si el procedimiento cruza alguna de las singularidades. Si, por cualquier medio, uno es capaz de mantener el procedimiento de Newton-Raphson dentro de valores de α _g donde es posible una solución físicamente significativa (dentro de las dos asíntotas donde se encuentran los valores 0 < α _g < 1), la característica monótonamente decreciente de la ecuación de Rachford-Rice sería garantizar la convergencia.

Colaboradores y Atribuciones

•  Michael Adewumi (The Pennsylvania State University) Vice Provost for Global Program, Professor of Petroleum and Natural Gas Engineering