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6.25: Códigos de repetición

Última actualización

30 oct 2022
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- 6.24: Codificación de canales
- 6.26: Codificación de canal de bloques

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

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$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

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$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

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$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

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$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$

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$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$

$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$

$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$

$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$

$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$

$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$

$\newcommand{\real}{\mathbb R}$

$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$

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$\newcommand{\col}{\text{Col}}$

$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$

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$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$

$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$

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$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$

$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$

$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$

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$\newcommand{\lt}{<}$

$\newcommand{\gt}{>}$

$\newcommand{\amp}{&}$

$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Objetivos de aprendizaje

Explica el código de repetición para la corrección de errores.

Quizás el código de corrección de errores más simple es el código de repetición.

Figura 6.25.1 La porción superior representa el resultado de modular directamente el flujo de bits **b (n)** en una señal transmitida **x (t)** usando un conjunto de señales BPSK de banda base. R' es el dato producido por el codificador fuente. Si ese flujo de bits pasa a través de un codificador de canal (3,1) para producir el flujo de bits **c (l)**, la señal transmitida resultante requiere un intervalo de bits T tres veces menor que la versión no codificada. Esta reducción en el intervalo de bits significa que la energía/bit transmitido disminuye en un factor de tres, lo que da como resultado una mayor probabilidad de error en el receptor.

Aquí, el transmisor envía el bit de datos varias veces, un número impar de veces de hecho. Debido a que la probabilidad de error p _e es siempre menor que 1/2, sabemos que más de los bits deben ser correctos en lugar de errores. La votación por mayoría simple de los bits recibidos (de ahí la razón del número impar) determina el bit transmitido con mayor precisión que enviarlo solo. Por ejemplo, consideremos el código de repetición triple: por cada bit b (n) que emerge del codificador fuente, el codificador de canal produce tres. Por lo tanto, el flujo de bits que emerge del codificador de canal c (l) tiene una velocidad de datos tres veces mayor que la del flujo de bits original b (n). La tabla de codificación ilustra cuándo se pueden corregir los errores y cuándo no pueden hacerlo mediante el decodificador de mayoría de votos.

Así, si un bit de los tres bits se recibe por error, el receptor puede corregir el error; si se produce más de un error, el decodificador de canal anuncia que el bit es 1 en lugar del valor transmitido de 0. Usando este código de repetición, la probabilidad de b

$\hat{b}(n)\neq 0 \nonumber$

es igual

$3p_{e}^{2}\times (1-p_{e})+p_{e}^{3} \nonumber$

Esta probabilidad de un error de decodificación es siempre menor que p _e, el valor no codificado, siempre y cuando

$p_{e}< \frac{1}{2} \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Demostrar matemáticamente que esta afirmación es efectivamente cierta.

$3p_{e}^{2}\times (1-p_{e})+p_{e}^{3}\leq p_{e} \nonumber$

Solución

Esta pregunta equivale a

$3p_{e}\times (1-p_{e})+p_{e}^{2}\leq 1\; or\; 2p_{e}^{2}-3p_{e}+1\geq 0 \nonumber$

Debido a que se trata de una parábola ascendente, sólo necesitamos verificar dónde están sus raíces. Usando la fórmula cuadrática, encontramos que se encuentran en 1/2 y 1. En consecuencia, en el rango

$0\leq p_{e}\leq \frac{1}{2} \nonumber$

la tasa de error producida por la codificación es menor.

Objetivos de aprendizaje

Ejercicio6.25.1\PageIndex{1}

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Ejercicio $\PageIndex{1}$