1.30: Barreras potenciales y túneles

A continuación consideramos los electrones incidentes sobre una barrera potencial, como se muestra en la Figura 1.30.1.

Figura\(\PageIndex{1}\): Una barrera potencial.

Supondremos que la partícula incide sobre la barrera desde la izquierda. Tiene cierta probabilidad de ser reflejado por la barrera. Pero también tiene alguna probabilidad de ser transmitida a pesar de que su energía puede ser menor que la altura de la barrera. La transmisión a través de una barrera se conoce como tunelización. No hay un proceso equivalente en la física clásica —el electrón necesitaría suficiente energía para saltar sobre la barrera.

Una vez más, resolvemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. A la izquierda y derecha de la barrera, el electrón se encuentra en una región clásicamente permitida. Modelamos el electrón en estas regiones por una onda plana; véase la Ecuación (1.25.3) y la discusión asociada. Por otro lado, dentro de la barrera, si la energía, E, del electrón está por debajo del potencial de barrera\(V_{0}\), la barrera es una región clásicamente prohibida. La solución en esta región se describe expandiendo y decayendo exponenciales; ver Ecuación (1.25.6) y la discusión asociada.

Analizando el potencial pieza por pieza, asumimos una solución de la forma

\ [\ psi (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
e^ {i k x} +r e^ {-i k x} &\ text {for} x\ leq 0\\
a e^ {\ alpha x} +b e^ {-\ alpha x} &\ text {for} 0\ leq x\ leq L\\
t e^ {i k x} &\ text {for} x\ geq L
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

donde una vez más

\[ k =\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}} \nonumber \]

y

\[ \alpha = \sqrt{\frac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}} \nonumber \]

La intensidad de la onda plana entrante es la unidad. De ahí que la amplitud de la onda reflejada, r, es el coeficiente de reflexión y la amplitud de la onda transmitida, t, es el coeficiente de transmisión. (La reflectividad y transmisividad es\(|r|^{2}\) y\(|t|^{2}\), respectivamente).

A continuación coincidimos con las soluciones por partes en el borde izquierdo de la barrera. Equiparar la amplitud de la función de onda da

\[ \psi(0)=1+r=a+b \nonumber \]

Equiparar la pendiente de la ondafunción da

\[ \psi’(0)=ik+ikr=\alpha a-\alpha b . \nonumber \]

En el borde derecho de la barrera, tenemos

\[ \psi(L)=a e^{\alpha L}+ b e^{-\alpha L}=te^{ikL} \nonumber \]

y

\[ \psi’(L)=a\alpha e^{\alpha L}- b\alpha e^{-\alpha L}=ikte^{ikL} \nonumber \]

Así, tenemos cuatro ecuaciones simultáneas. Pero estos son un dolor de resolver analíticamente. En la Figura 1.30.2 trazamos soluciones para energía mucho menor que la barrera, y energía cercana a la barrera. Se observa que la probabilidad de tunelización es mucho mayor cuando el electrón incidente tiene energía cercana a la altura de la barrera. Tenga en cuenta que la decadencia de la función de onda dentro de la barrera es mucho menor cuando la energía del electrón es grande. Obsérvese también que la reflexión de la barrera interfiere con el electrón incidente creando un patrón de interferencia.

Cuando la energía de los electrones es mucho menor que la altura de la barrera, podemos modelar la función de onda dentro de la barrera simplemente como un exponencial en descomposición. La probabilidad de transmisión es entonces aproximadamente

\[ T \approx \text{exp}[-2 \alpha L] \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfica de la función de onda para un electrón incidente desde la izquierda. (a) Cuando la energía de los electrones está sustancialmente por debajo de la altura de la barrera, la tunelización es insignificante. (b) Para una energía de electrones 98% de la altura de la barrera, sin embargo, anotar la probabilidad de transmisión distinta de cero a la derecha de la barrera.