2.10: El DOS 1-D - Cables cuánticos confinados en 2-D
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La densidad de estados,\(g(E)\) se define como el número de estados permitidos dentro del rango de energía\(dE\), es decir, el número total de estados dentro del rango de energía\(-\infty < E < E_{F}\) es
\[ n_{s}(E_{F})=\int^{E_{F}}_{-\infty} g(E)dE \nonumber \]
Para determinar\(g(E)\) contaremos\(k\) estados y luego usaremos la relación entre\(E\) y\(k\) (conocida como la relación de dispersión) para cambiar las variables de\(k\) a\(E\).
Mostramos anteriormente que la energía de los electrones en un cable cuántico es
\[ E_{n_{x}, n_{y}}=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m}\left(\frac{n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}+\frac{n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}\right)+\frac{\hbar^{2} k_{z}^{2}}{2 m}, \quad n_{x}, n_{y}=1,2, \ldots \nonumber \]
Así, contar los modos x-y es directo, ya que en el potencial confinado son discretos. Pero para contar los modos en la dirección z imponemos condiciones de límite periódicas.
Esto debería estar bien si el cable es suficientemente largo ya que los límites del cable son entonces menos significativos. Las condiciones de contorno periódicas hacen\(k_{z}\) que se cuantifique, y cada valor permitido de k-espacio ocupa una longitud\(2\pi /L_{z}\).
Para mayor comodidad, nos integraremos con respecto a la magnitud de\(k_{z}\). Ya que estamos integrando\(|k_{z}|\) de 0 a\(\infty\), no\(-\infty < k_{z}<\infty\), hay un factor extra de dos para dar cuenta de modos con negativo\(k_{z}\), y un factor adicional de dos para dar cuenta de los dos posibles espines de electrones por k estado.
\[ n_{s}\left( |k_{z}| \right) = 2\times 2\times \int^{|k_{z}|}_{0} \frac{1}{2 \pi /L_{z}}dk \nonumber \]
A continuación necesitamos cambiar las variables en la Ecuación 2.10.3, es decir, necesitamos g (E) donde
\[ n_{s}\left( E_{F} \right) = \int^{E_{F}}_{-\infty} g(E)dE \nonumber \]
Ahora\(|k_{z}|\) se relaciona con la energía por
\[ E-E_{n_{x},n_{y}}= \frac{\hbar^{2}|k_{z}|^{2}}{2m}, E \geq E_{n_{x},n_{y}} \nonumber \]
Usando la relación de dispersión de la Ecuación 2.10.5 en la Ecuación 2.10.3 da,
\[ g(E) d E=\frac{2 L}{\pi} \sqrt{\frac{m}{2 \hbar^{2}}} \sum_{n_{x}, n_{y}} \frac{u\left(E-E_{n_{x}, n_{y}}\right)}{\sqrt{E-E_{n_{x}, n_{y}}}} d E , \nonumber \]
donde u es la función de paso de unidad. El DOS se representa en la Figura 2.10.2. Tenga en cuenta que la región plana en la relación de dispersión como k → 0 produce picos infinitos en el DOS en la parte inferior de cada banda. Los picos tienen área finita, sin embargo, ya que el cable contiene un número finito de estados.
