1.2: Sistemas LTI y ODEs

Consideramos los sistemas físicos que pueden modelarse con una fidelidad de ingeniería razonable como sistemas lineales, invariantes en el tiempo (LTI). Tal sistema está representado matemáticamente por una ecuación diferencial ordinaria (ODE), o por un conjunto de ODEs acopladas, para lo cual la única variable independiente es el tiempo, denotada como\(t\). Estas ODEs son lineales, y tienen coeficientes constantes, por lo que las describimos como lineales, invariantes en el tiempo (LTI), lo mismo que los sistemas que representan ¹. Por ejemplo, supongamos que denotamos una variable dependiente como\( x(t) \), aquí un símbolo general que representa alguna cantidad de respuesta dinámica física para la que queremos resolver. Entonces una ODE LTI que modela un sistema físico LTI podría tener la forma

\[\dfrac{dx}{dt} - a\,x =b\,u(t)\label{eqn:1} \]

en el que\(a\) y\(b\) son coeficientes multiplicadores constantes, y la función conocida\(u(t)\) es la excitación y es independiente de la respuesta. En el estudio de los sistemas, una excitación independiente a menudo\(u(t)\) se llama entrada, y una respuesta dependiente a menudo\(x(t)\) se llama salida.

De aquí en adelante, usualmente emplearemos la notación común de puntos taquigrafía para denotar derivadas con respecto al tiempo:\( \dfrac{dx}{dt} = \dot{x} \),\( \dfrac{d^2 x}{dt^2} = \ddot{x} \) etc., para que la ecuación\(\ref{eqn:1}\) pueda escribirse de manera más simple como

\[ \dot{x} - a\,x = b\,u(t) . \nonumber \]

La linealidad de la Ecuación\(\ref{eqn:1}\) se manifiesta por la aparición lineal de\( x(t) \) y todas sus derivadas en la ODE. A continuación se presentan algunas ODE similares que no son lineales (son no lineales) por razones obvias:\( \dot{x} - a\,x^2 = b\,u(t) \);\( sin(\dot{x}) - a\,x = b\,u(t) \);\( \sqrt(\dot{x}) - a\,tan(x) = b\,u(t) \). Las ODE lineales son casi siempre más fáciles de resolver (al menos en forma cerrada, es decir, como ecuaciones que involucran funciones estándar) que las ODE no lineales. Además, el importante principio de superposición se aplica a las ODE lineales, pero no a las ODE no lineales. Un ejemplo de la aplicación de este principio es: dejar que la respuesta a la entrada\( u_1(t) \) sea\( \ x_1(t) \), y dejar que la respuesta a otra entrada\( u_2(t) \) sea\( x_1 (t) \); si una tercera entrada es la suma de términos multiplicados\( u_3(t) = c_1\,u_1(t) + c_2\,u_2 (t) \), en los que\( c_1 \) y\( c_2 \) son constantes, entonces la respuesta a \( u_3(t) \)es\( x_3 (t) = c_1\,x_1 (t) + c_2\,x_2 (t) \). Este resultado es fácil de derivar simplemente multiplicando dos ODEs como Ecuación\(\ref{eqn:1}\) por las constantes, luego agregando las ODEs multiplicadas. El principio de superposición nos permite resolver con precisión las respuestas de los sistemas lineales a cualquier entrada físicamente realista. (Véase la Sección 8.10 para una derivación de la respuesta del sistema a una entrada arbitraria físicamente realista mediante la aplicación directa de superposición.)

La invarianza temporal de la Ecuación\(\ref{eqn:1}\) se manifiesta por los coeficientes constantes de\( x(t) \) y todas sus derivadas en la ODE. Las ODE con coeficientes invariantes en el tiempo modelan el comportamiento de los sistemas que se supone tienen propiedades físicas que permanecen constantes en el tiempo o varían tan lenta y/o ligeramente que la variación es insignificante para fines de ingeniería. Pero muchos sistemas prácticamente importantes tienen propiedades físicas variables en el tiempo. Por ejemplo, un vehículo como un transbordador espacial entre el despegue y el logro de la posición orbital tiene una masa rápidamente variable (decreciente) a medida que se quema el propelente y se liberan tanques de combustible externos y propulsores. La siguiente es una ecuación lineal algo similar a la Ecuación\(\ref{eqn:1}\), pero con un coeficiente obviamente variable en el tiempo:\( \dot{x} -3\,x\,(1-e^(-2\,t))\,x = b\,u(t) \). El estudio de sistemas con propiedades físicas variables en el tiempo es generalmente más complicado, no fundamental, por lo que solo los sistemas invariantes en el tiempo y las ODE se consideran en este libro.

La forma de Ecuación\(\ref{eqn:1}\)\( \dot{x} - a\,x = b\,u(t) \),, es ampliamente considerada como la forma estándar para una ODE LTI de primer orden, y la usaremos como tal en este libro. A partir de la siguiente sección, estudiaremos sistemas físicos idealizados cuyos comportamientos dinámicos son descritos por ecuaciones que son directamente análogas a la Ecuación\(\ref{eqn:1}\). Expresaremos las constantes matemáticas\(a\) y\(b\) en términos de constantes físicas específicas. Además, los roles de entrada\( u(t) \) y salida\( x(t) \) en Ecuación\(\ref{eqn:1}\) serán asumidos por algunas cantidades físicas específicas, como fuerza, velocidad, voltaje, etc., y los denotaremos con símbolos relevantes [a menudo diferentes a\( u(t) \) y\( x(t) \)] cuando sea apropiado.

Si bien en esta sección solo se discuten las ODE de primer orden, ciertamente encontraremos y estudiaremos sistemas y ODEs de segundo y superior orden.

¹ Las ODE LTI también se describen a veces como lineales, coeficientes constantes o LCC.