9.3: Velocidad de grupo y fase de solitones
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El efecto Kerr-efecto conduce a un cambio de la velocidad de fase del pulso, resultando en el desplazamiento de autofase del solitón,\(\phi_o\), por ida y vuelta. Un cambio en la velocidad del grupo no aparece explícitamente en la solución del NLSE. El autoempinado que se vuelve importante para los pulsos ultracortos conduce a un término adicional en la NLSE y por lo tanto a un término adicional en la ecuación maestra (9.1.5)
\[L_{\text{pert}} = -\dfrac{\delta}{\omega_c} \dfrac{\partial}{\partial t} (|a(T,t)|^2 a(T, t)). \nonumber \]
Se espera que el impacto de este término sea pequeño del orden\(1/(\omega_o \tau)\) y, por lo tanto, solo importante para pulsos de pocos ciclos. Sin embargo, resulta que este término altera la velocidad de fase y grupo del solitón como pulso tanto como el propio desplazamiento de fase no lineal. Tomamos en cuenta su término en forma de perturbación. Este término de perturbación es impar y real y por lo tanto solo conduce a un cambio de tiempo, cuando se sustituye en la Ec. (9.1.5).
\[T_R \dfrac{\partial \Delta t (T)}{\partial T}|_{sst} = -\dfrac{\delta}{\omega_c} A_0^3 \text{Re} \left \{ \int_{-\infty}^{+\infty} \bar{f}_t^* (t) \dfrac{\partial}{\partial t} \left ( \text{sech}^3 \left ( \dfrac{t}{\tau} \right ) \right ) dt \right \} \nonumber \]
\[= \dfrac{\delta}{\omega_c} A_0^2 = \dfrac{2\phi_0}{\omega_c}. \nonumber \]
Este desplazamiento de tiempo o retardo de grupo por ida y vuelta, junto con el desplazamiento de fase no lineal conduce a un cambio de fase entre portadora y envolvente por ida y vuelta dado por
\[\Delta \phi_{CE} = -\phi_0 + \omega_o T_R \dfrac{\partial}{\partial T} \Delta t (T)|_{selfsteep} = -\dfrac{1}{2} \delta A_0^2 + \delta A_0^2 = \dfrac{1}{2} \delta A_0^2. \nonumber \]
El efecto compuesto de este retardo de fase por ida y vuelta en la portadora frente a la envolvente conduce a una frecuencia portadora envolvente
\[f_{CE} = \dfrac{\Delta \phi_{CE}}{2\pi} f_R = \dfrac{\phi_0}{2\pi} f_R.\label{eq9.3.5} \]
El retardo de grupo también cambia la longitud de la cavidad óptica del láser y, por tanto, altera la tasa de repetición de acuerdo con
\[\Delta f_R = -f_R^2 \Delta t (T)|_{selfsteep} = - 2 \phi_0 \dfrac{f_R}{\omega_o} f_R = -\dfrac{2}{m_0} f_{CE},\label{eq9.3.6} \]
donde\(m_0\) está el número de modo de la onda portadora. Eqs. (\(\ref{eq9.3.5}\)) y (\(\ref{eq9.3.6}\)) juntos determinan el desplazamiento de la línea m-ésima del peine óptico\(f_m = f_{CE} + m f_R\) debido a una modulación de energía de pulso intracavitario y un cambio en la longitud de la cavidad por
\[\Delta f_m = \Delta f_{CE} + m \Delta f_R = f_{CE} (1 - \dfrac{2m}{m_0}) \dfrac{\Delta w}{w_0} - m f_R \dfrac{\Delta L}{L_0}.\label{eq9.3.7} \]
Específicamente, la ecuación (\(\ref{eq9.3.7}\)) predice, que el modo con número\(m = m_0/2\), es decir, el modo a la mitad de la frecuencia central, no cambia su frecuencia en función de la energía del pulso intracavitario. Por supuesto, hay que recordar, que este modelo se basa hasta ahora en la modulación de autofase y el autoempinado como causa de una frecuencia de desplazamiento de envolvente de portadora dependiente de la potencia. Puede haber otros mecanismos que provoquen una frecuencia de desplazamiento de envolvente de portadora dependiente de la potencia. Uno de esos efectos es el retardo de grupo causado por el medio de ganancia del láser, otro es el cambio de envolvente de portadora debido a un cambio en la frecuencia portadora, lo que da muy probablemente una dependencia adicional muy fuerte de la potencia de la bomba. Sin embargo, la fórmula 9.82 puede ser utilizada para el control del peine de frecuencia óptica de un láser de femtosegundos mediante el control de la longitud de la cavidad y la energía del pulso intracavitario, a través de la potencia de la bomba.