3.8: Escala de Decibelios para Relación de Potencia
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En muchas disciplinas dentro de la ingeniería eléctrica, es común evaluar las relaciones de potencias y densidades de potencia que difieren en muchos órdenes de magnitud. Estas proporciones podrían expresarse en notación científica, pero es más común usar la escala logarítmica de decibelios (dB) en tales aplicaciones.
En la escala convencional (lineal), la relación de potencia\(P_1\) a potencia\(P_0\) es simplemente
\[ G = \frac{P_1}{P_0} ~~~\mbox{(linear units)} \nonumber \]
Aquí, "\(G\)" podría interpretarse como “ganancia de poder”. Tenga en cuenta que\(G<1\) si\(P_1<p_0\) y\(G>1\) si\(P_1>P_0\). En la escala de decibelios, la relación entre potencia\(P_1\) y potencia\(P_0\) es
\[ \boxed{ G \triangleq 10\log_{10}\frac{P_1}{P_0} ~~~\mbox{(dB)} } \label{m0154_eGdef} \]
donde “dB” denota una cantidad sin unidad que se expresa en la escala de decibelios. Tenga en cuenta que\(G<0\) dB (es decir, es “negativo en dB”) si\(P_1<P_0\) >0 y\(G>0\) dB si\(P_1>P_0\).
La ganancia de potencia\(P_1/P_0\) en dB viene dada por la Ecuación\ ref {M0154_EGDef}.
Alternativamente, uno podría elegir interpretar una relación de potencia como una pérdida\(L\) con\(L\triangleq 1/G\) en unidades lineales, que es\(L=-G\) cuando se expresa en dB. La mayoría de las veces, pero no siempre, los ingenieros interpretan una relación de potencia como “ganancia” si se espera que la potencia de salida sea mayor que la potencia de entrada (por ejemplo, como se esperaba para un amplificador) y como “pérdida” si se espera que la potencia de salida sea menor que la potencia de entrada (por ejemplo, como se esperaba para una línea de transmisión con pérdidas).
La pérdida de potencia\(L\) es el recíproco de la ganancia de potencia\(G\). Por lo tanto,\(L=-G\) cuando estas cantidades se expresan en dB.
Se inyecta una señal de 2 W en un cable largo. La potencia que llega al otro extremo del cable es de 10\(\mu\) W. ¿Cuál es la pérdida de potencia en dB?
Solución
En unidades lineales:
\[G = \frac{10 \: \mu \mbox{W}}{2~\mbox{W}} = 5 \times 10^{-6} ~~~\mbox{(linear units)} \nonumber \]
En dB:
\[ G &= 10\log_{10}\left(5 \times 10^{-6}\right) \cong -53.0~\mbox{dB} \nonumber \\ L &= -G \cong \underline{+53.0~\mbox{dB}} \nonumber \]
La escala de decibelios se utiliza precisamente de la misma manera para relacionar las proporciones de densidades de potencia espacial para las ondas. Por ejemplo, la pérdida incurrida cuando la densidad de potencia espacial se reduce de\(S_0\) (unidades base SI de W/m\(^2\))\(S_1\) a
\[ L = 10\log_{10}\frac{S_0}{S_1} ~~~\mbox{(dB)} \nonumber \]
Esto funciona porque las unidades comunes de m\(^{-2}\) en el numerador y denominador cancelan, dejando una relación de potencia.
Un punto común de confusión es el uso adecuado de la escala de decibelios para representar las relaciones de voltaje o corriente. Para evitar confusiones, simplemente refiérase a la definición expresada en la Ecuación\ ref {M0154_EGDef}. Por ejemplo, digamos\(P_1 = V_1^2/R_1\) dónde\(V_1\) está el potencial y\(R_1\) es la impedancia a través de la cual\(V_1\) se define. Del mismo modo, definamos\(P_0 = V_0^2/R_0\) dónde\(V_0\) está el potencial y\(R_0\) es la impedancia a través de la cual\(V_0\) se define. Aplicando la Ecuación\ ref {M0154_EGDef}:
\ begin {align} G &\ triangleq 10\ log_ {10}\ frac {P_1} {P_0} ~~~\ mbox {(dB)}\ nonumber\\ &= 10\ log_ {10}\ frac {V_1^2/R_1} {V_0^2/R_0} ~~~\ mbox {(dB)} fin {alinear}
Ahora, si\(R_1=R_0\), entonces
\[\begin{align} G &= 10\log_{10}\frac{V_1^2}{V_0^2} ~~~\mbox{(dB)} \nonumber \\ &= 10\log_{10}\left(\frac{V_1}{V_0}\right)^2 ~~~\mbox{(dB)} \nonumber \\ &= 20\log_{10}\frac{V_1}{V_0} ~~~\mbox{(dB)} \end{align} \nonumber \]
No obstante, tenga en cuenta que esto no es cierto si\(R_1\neq R_0\).
Una relación de potencia en dB es igual a la relación\(20\log_{10}\) de voltaje solo si las impedancias asociadas son iguales.
A la posibilidad de confusión en este punto se suma el concepto de ganancia de voltaje\(G_v\):
\[ G_v \triangleq 20\log_{10}\frac{V_1}{V_0} ~~~\mbox{(dB)} \nonumber \]
que se aplica independientemente de las impedancias asociadas. Tenga en cuenta que\(G_v=G\) sólo si las impedancias asociadas son iguales, y que estas relaciones son diferentes de lo contrario. ¡Ten cuidado!
La escala de decibelios simplifica los cálculos comunes. He aquí un ejemplo. Digamos que una señal que tiene potencia\(P_0\) se inyecta en una línea de transmisión que tiene pérdida\(L\). Entonces la potencia de salida\(P_1=P_0/L\) en unidades lineales. Sin embargo, en dB, encontramos:
\ begin {align} 10\ log_ {10} {P_1} &= 10\ log_ {10} {\ frac {P_0} {L}}\ nonumber\\ &= 10\ log_ {10} {P_0} - 10\ log_ {10} {L}\ nonumber\ end {align}
La división se ha transformado en resta; es decir,
\[ P_1 = P_0 - L ~~~\mbox{(dB)} \label{m0154_edbd} \]
Esta forma facilita el cálculo y la visualización, por lo que normalmente se prefiere.
Finalmente, tenga en cuenta que las unidades de\(P_1\) y\(P_0\) en la Ecuación\ ref {m0154_edbd} no son dB per se, sino dB con respecto a las unidades de potencia originales. Por ejemplo, si\(P_1\) está en mW, entonces tomar esta\(10\log_{10}\) cantidad da como resultado una cantidad que tiene unidades de dB relativas a 1 mW. Se dice que una potencia expresada en dB con respecto a 1 mW tiene unidades de “dBm”. Por ejemplo, “0 dBm” significa 0 dB con relación a 1 mW, que es simplemente 1 mW. Del mismo modo\(+10\) dBm es\(10\) mW,\(-10\) dBm es 0.1 mW, y así sucesivamente.