3.7: Poder de las olas en un medio con pérdida
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En esta sección, consideramos la potencia asociada a las ondas que se propagan en materiales potencialmente con pérdidas; es decir, tener una conductividadσ significativamente mayor a cero. Este tema ha sido considerado previamente en la sección “Poder de las olas en un Medio Sin Pérdidas” para el caso en pérdida no es significativo. 1 Una revisión de esa sección puede ser útil antes de leer esta sección.
Recordemos que el vector Poynting
S≜E×H
indica la densidad de potencia (es decir, W/m2) de una onda y la dirección del flujo de potencia. Esta es una potencia “instantánea”, aplicable a las olas independientemente de la forma en que varíen con el tiempo. A menudo nos interesan específicamente las ondas que varían sinusoidalmente, y que posteriormente pueden ser representadas como fasores. En este caso, el vector de Poynting promedio en el tiempo es
Save≜12Re{˜EטH∗}
Además, ya hemos utilizado esta expresión para encontrar que la densidad de potencia promedio en el tiempo para una onda plana uniforme que varía sinusoidalmente en un medio sin pérdidas es simplemente
Save=|E0|22η (lossless case)
donde|E0| es la magnitud pico (a diferencia de RMS) del fasor de intensidad de campo eléctrico, yη es la impedancia de onda.
Ahora usemos la Ecuación\ ref {M0133_EPVP} para determinar la expresión correspondiente a la Ecuación\ ref {M0133_ePavel} en el caso de medios posiblemente con pérdida. Podemos expresar las intensidades de campo eléctrico y magnético de una onda plana uniforme como
˜E=ˆxE0e−αze−jβz
y
˜H=ˆyE0ηce−αze−jβz
dondeα yβ son la constante de atenuación y la constante de propagación de fase, respectivamente, yηc es la impedancia de onda de valor complejo. Como está escrito, estas expresiones describen una onda que es+ˆx polarizada y se propaga en la+ˆz dirección. Tomamos estas elecciones solo por conveniencia, siempre y cuando el medio sea homogéneo e isotrópico, esperamos que nuestros hallazgos se apliquen independientemente de la polarización y la dirección de propagación. Aplicando la Ecuación\ ref {M0133_EPVP}:
Save=12Re{˜EטH∗}=12 ˆz Re{|E0|2η∗ce−2αz}=ˆz|E0|22 Re{1η∗c}e−2αz
Debido a queηc es de valor complejo cuando el material tiene pérdidas, debemos proceder con precaución. Primero, escribamosηc explícitamente en términos de su magnitud|ηc| y faseψη:
η≜|η|ejψη
Entonces:
η∗c=|ηc|e−jψη(η∗c)−1=|ηc|−1e+jψηRe{(η∗c)−1}=|ηc|−1cosψη
Entonces la Ecuación\ ref {M0133_ESAVE1} puede escribirse:
Save=ˆz|E0|22|ηc| e−2αz cosψη
La densidad de potencia promedio en el tiempo de la onda plana descrita por la Ecuación\ ref {M0133_EE} en un material con pérdidas posibles viene dada por la Ecuación\ ref {M0133_ESave}.
Como cheque, tenga en cuenta que esta expresión da el resultado esperado para medios sin pérdidas; es decir,α=0,|ηc|=η, yψη=0. Ahora vemos que el efecto de la pérdida es que la densidad de potencia es ahora proporcional a(e−αz)2, por lo que, como se esperaba, la densidad de potencia es proporcional al cuadrado de cualquiera|E| o|H|. El resultado indica además un escalado de una sola vez de la densidad de potencia por un factor de
|η||ηc|cosψη<1
relativo a un medio sin pérdida.
La reducción en la densidad de potencia debido a la conductividad distinta de cero es proporcional a un factor dependiente de la distanciae−2αz y un factor adicional que depende de la magnitud y fase deηc.
- Dependiendo de la versión de este libro, esta sección puede aparecer en otro volumen. ↩