5.3: Transmisión total a través de una losa
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En la sección 5.2 se detalla la solución del problema de “solo-losa”. Este problema se compone de tres regiones materiales: una región semiinfinita 1, de la que normalmente incide una onda plana uniforme; la región 2, la losa, definida por límites planos paralelos separados por la distancia\(d\); y una región semiinfinita 3, a través de la cual sale la onda plana. La solución que se desarrolló asume medios simples con pérdidas insignificantes, por lo que los medios en cada región se caracterizan completamente por la permitividad y permeabilidad.
Ahora nos enfocamos en una clase particular de aplicaciones que involucran esta estructura. En esta clase de aplicaciones, buscamos la transmisión total a través de la losa. Por “transmisión total” queremos decir que el 100% de la potencia incidente en la losa se transmite a través de la losa a la Región 3, y 0% de la potencia se refleja de nuevo en la Región 1. Hay muchas aplicaciones para tal estructura. Una aplicación es el radomo, una cubierta protectora que rodea parcial o completamente una antena, pero nominalmente no interfiere con las ondas que son recibidas o transmitidas desde la antena. Otra aplicación es el filtrado de RF y ondas ópticas; es decir, pasar o rechazar ondas que caen dentro de un rango estrecho de frecuencias. En esta sección, primero describiremos las condiciones para la transmisión total, y luego proporcionaremos algunos ejemplos de estas aplicaciones.
Comenzamos con la caracterización de los medios de comunicación. La región 1 se caracteriza por su permitividad\(\epsilon_1\) y permeabilidad\(\mu_1\), de tal manera que la impedancia de onda en la Región 1 es\(\eta_1=\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}\). De igual manera, la Región 2 se caracteriza por su permitividad\(\epsilon_2\) y permeabilidad\(\mu_2\), de tal manera que la impedancia de onda en la Región 2 es\(\eta_2=\sqrt{\mu_2/\epsilon_2}\). La Región 3 se caracteriza por su permitividad\(\epsilon_3\) y permeabilidad\(\mu_3\), de tal manera que la impedancia de onda en la Región 3 es\(\eta_3=\sqrt{\mu_3/\epsilon_3}\). El análisis en esta sección también depende de\(\beta_2\), la constante de propagación de fase en la Región 2, que viene dada por\(\omega\sqrt{\mu_2\epsilon_2}\).
Recordemos que la reflexión de la losa se cuantifica por el coeficiente de reflexión
\[\Gamma_{1,eq} = \frac{\eta_{eq}-\eta_1}{\eta_{eq}+\eta_1} \label{m0163_fGeq} \]
donde\(\eta_{eq}\) es dado por
\[\eta_{eq} = \eta_2 \frac{ 1 + \Gamma_{23} e^{-j2\beta_2 d} }{ 1 - \Gamma_{23} e^{-j2\beta_2 d} } \label{m0163_eetaeq} \]
y donde\(\Gamma_{23}\) es dado por
\[\Gamma_{23} = \frac{\eta_3-\eta_2}{\eta_3+\eta_2} \label{m0163_eGamma23} \]
La transmisión total lo requiere\(\Gamma_{1,eq}=0\). De la Ecuación\ ref {M0163_FGEQ} vemos que\(\Gamma_{1,eq}\) es cero cuando\(\eta_1=\eta_{eq}\). Ahora empleando la ecuación\ ref {m0163_eetaeq}, vemos que la transmisión total requiere:
\[\eta_{1} = \eta_2 \frac{ 1 + \Gamma_{23} e^{-j2\beta_2 d} }{ 1 - \Gamma_{23} e^{-j2\beta_2 d} } \label{m0163_ePT} \]
Para mayor comodidad y claridad, definamos la cantidad
\[P \triangleq e^{-j2\beta_2 d} \label{m0163_ePdef} \]
Usando esta definición, la ecuación\ ref {M0163_EPT} se convierte
\[\eta_{1} = \eta_2 \frac{ 1 + \Gamma_{23} P }{ 1 - \Gamma_{23} P } \label{m0163_ePT2} \]
Además, sustituyamos la Ecuación\ ref {M0163_EGAMMA23} por\(\Gamma_{23}\), y multipliquemos el numerador y el denominador por\(\eta_3+\eta_2\) (el denominador de la Ecuación\ ref {M0163_EGAMMA23}). Obtenemos:
\[\eta_{1} = \eta_2 \frac{ \eta_3 + \eta_2 + (\eta_3 - \eta_2)P }{ \eta_3 + \eta_2 - (\eta_3 - \eta_2)P } \nonumber \]
Reordenando el numerador y denominador, obtenemos:
\[\boxed{ \eta_{1} = \eta_2 \frac{ (1+P)\eta_3 + (1-P)\eta_2 }{ (1-P)\eta_3 + (1+P)\eta_2 } } \label{m0163_eCPT} \]
Los parámetros\(\eta_1\),,\(\eta_2\)\(\eta_3\)\(\beta_2\), y que\(d\) definen cualquier estructura de losa única que exhiba transmisión total deben satisfacer la Ecuación\ ref {M0163_Ecpt}.
Nuestro reto ahora es identificar combinaciones de parámetros que satisfagan esta condición. Hay dos categorías generales de soluciones. Estas categorías se conocen como coincidencia de media onda y coincidencia de cuarto de onda.
Coincidencia de media onda
La coincidencia de media onda se aplica cuando tenemos el mismo material a cada lado de la losa; es decir,\(\eta_1=\eta_3\). Vamos a referirnos a este valor común de\(\eta_1\) y\(\eta_3\) como\(\eta_{ext}\). Entonces la condición para la transmisión total se convierte en:
\[\eta_{ext} = \eta_2 \frac{ (1+P)\eta_{ext} + (1-P)\eta_2 }{ (1-P)\eta_{ext} + (1+P)\eta_2 } \label{m0163_eCPT2} \]
Para que se satisfaga la condición anterior, necesitamos que la fracción del lado derecho de la ecuación sea igual a\(\eta_{ext}/\eta_{2}\). De la Ecuación\ ref {M0163_EPDEF}, la magnitud de\(P\) es siempre 1, así que el primer valor de que\(P\) podrías pensar que probar es\(P=+1\). De hecho, este valor satisface la Ecuación\ ref {M0163_ECPT2}. Por lo tanto,\(e^{-j2\beta_2 d} = +1\). Esta nueva condición se cumple cuando\(2\beta_2 d = 2\pi m\), donde\(m=1, 2, 3,...\) (No consideramos que\(m\le0\) sean soluciones válidas ya que éstas representarían valores cero o negativos de\(d\).) Así, encontramos
\[d = \frac{\pi m}{\beta_2} = \frac{\lambda_2}{2}m ~\mbox{, where} ~ m=1, 2, 3,... \nonumber \]
donde\(\lambda_2 = 2\pi/\beta_2\) es la longitud de onda dentro de la losa. Resumiendo:
La transmisión total a través de una losa incrustada en regiones de material que tienen igual impedancia de onda (es decir,\(\eta_1=\eta_3\)) se puede lograr estableciendo el grosor de la losa igual a un número entero de medias longitudes de onda a la frecuencia de interés. Esto se conoce como coincidencia de media onda.
Una característica notable de la coincidencia de media onda es que no hay restricción en la permitividad o permeabilidad de la losa, y la única restricción en los medios en las Regiones 1 y 3 es que tienen igual impedancia de onda.
La antena para un radar de 60 GHz debe ser protegida del clima por un panel de radomo colocado directamente frente al radar. El panel debe construirse a partir de un material de baja pérdida que tenga\(\mu_r\approx 1\) y\(\epsilon_r=4\). Para tener suficiente integridad mecánica, el panel debe tener al menos 3 mm de grosor. ¿Qué grosor se debe usar?
Solución
Esta es una buena aplicación para la coincidencia de media onda porque el material a ambos lados de la losa es el mismo (presumiblemente espacio libre) mientras que el material utilizado para la losa no está especificado. La velocidad de fase en la losa es
\[v_p = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} \cong 1.5 \times 10^8~\mbox{m/s} \nonumber \]
por lo que la longitud de onda en la losa es
\[\lambda_2 = \frac{v_p}{f} \cong 2.5~\mbox{mm} \nonumber \]
Así, el espesor mínimo de la losa que satisface la condición de coincidencia de media onda es\(d=\lambda_2/2 \cong 1.25\) mm. Sin embargo, esto no cumple con el requisito de espesor mínimo en\(3\) mm. Tampoco el siguiente espesor disponible,\(d=\lambda_2\cong 2.5\) mm. La siguiente opción más gruesa,\(d=3\lambda_2/2\cong 3.75\) mm, cumple con los requisitos. Por lo tanto, seleccionamos\(d \cong 3.75 \: \mathrm{mm}\).
Se debe enfatizar que los diseños que empleen coincidencia de media onda serán de banda estrecha, es decir, totales solo para la frecuencia de diseño. A medida que la frecuencia aumenta o disminuye a partir de la frecuencia de diseño, habrá una reflexión creciente y una transmisión decreciente.
Coincidencia de cuarto de onda
La coincidencia de cuarto de onda requiere que las impedancias de onda en cada región sean diferentes y estén relacionadas de una manera particular. La solución de cuarto de onda se obtiene requiriendo\(P=-1\), de manera que
\[\eta_1 = \eta_2 \frac{ (1+P)\eta_3 + (1-P)\eta_2 }{ (1-P)\eta_3 + (1+P)\eta_2 } = \eta_2 \frac{ \eta_2 }{ \eta_3 } \nonumber \]
Resolviendo esta ecuación para la impedancia de onda del material de losa, encontramos
\[\eta_2 = \sqrt{\eta_1\eta_3} \nonumber \]
Tenga en cuenta que\(P=-1\) se obtiene cuando\(2\beta_2 d = \pi + 2\pi m\) donde\(m=0, 1, 2, ...\). Así, encontramos
\ begin {alineado}
d &=\ frac {\ pi} {2\ beta_ {2}} +\ frac {\ pi} {\ beta_ {2}} m\\
&=\ frac {\ lambda_ {2}} {4} +\ frac {\ lambda_ {2}} {2} m,\ text {donde} m=0,1,2,\ ldots
\ fin {alineado}
Resumiendo:
La transmisión total se logra a través de una losa seleccionando\(\eta_2 = \sqrt{\eta_1\eta_3}\) y haciendo que la losa sea un cuarto de longitud de onda a la frecuencia de interés, o algún número entero de medias longitudes de onda más gruesas si es necesario. Esto se conoce como coincidencia de cuarto de onda.
La antena para un radar de 60 GHz debe ser protegida del clima por un panel de radomo colocado directamente frente al radar. En este caso, sin embargo, la antena está incrustada en un material sin pérdidas que tiene\(\mu_r\approx 1\) y\(\epsilon_r=2\), y el panel de radomo se va a colocar entre este material y el exterior, que presumimos es espacio libre. El material en el que está incrustada la antena, y contra el cual se instala el panel de radomo, es bastante rígido por lo que no hay requisito de espesor mínimo. Sin embargo, el panel de radomo debe estar hecho de un material que sea sin pérdidas y no magnético. Diseña el panel de radomo.
Solución
El panel de radomo debe estar compuesto por un material que tenga
\[\eta_2 = \sqrt{\eta_1\eta_3} = \sqrt{ \frac{\eta_0}{\sqrt{2}} \cdot \eta_0 } \cong 317~\Omega \nonumber \]
Dado que se requiere que el panel de radomo no sea magnético, la permitividad relativa debe ser dada por
\[\eta_2 = \frac{\eta_0}{\sqrt{\epsilon_r}} ~~\Rightarrow~~ \epsilon_r = \left(\frac{\eta_0}{\eta_2}\right)^2 \cong 1.41 \nonumber \]
La velocidad de fase en la losa será
\[v_p = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} \cong \frac{3 \times 10^8~\mbox{m/s}}{\sqrt{1.41}} \cong 2.53 \times 10^8~\mbox{m/s} \nonumber \]
por lo que la longitud de onda en la losa es
\[\lambda_2 = \frac{v_p}{f} \cong \frac{2.53 \times 10^8~\mbox{m/s}}{60 \times 10^9~\mbox{Hz}} \cong 4.20~\mbox{mm} \nonumber \]
Así, el espesor mínimo posible del panel de radomo es\(d = \lambda_2/4 \cong 1.05\) mm, y la permitividad relativa del panel de radomo debe ser\(\epsilon_r \cong 1.41\).