7.4: Capacidad de manejo de energía del cable coaxial

El término “manejo de potencia” se refiere a la potencia máxima que puede ser transferida de manera segura por una línea de transmisión. Esta potencia es limitada porque cuando el campo eléctrico se vuelve demasiado grande, puede ocurrir una ruptura dieléctrica y formación de arcos. Esto puede ocasionar daños en la línea y los dispositivos conectados, por lo que se debe evitar. \(E_{pk}\)Sea el valor máximo seguro de la intensidad del campo eléctrico dentro de la línea, y deje\(P_{max}\) ser la potencia que se está transfiriendo bajo esta condición. En esta sección se aborda la siguiente pregunta: ¿Cómo se diseña un cable coaxial para maximizar\(P_{max}\) para un dado\(E_{pk}\)?

Comenzamos por encontrar el potencial eléctrico\(V\) dentro del cable. Esto se puede hacer usando la ecuación de Laplace:

\[\nabla^2 V = 0 \nonumber \]

Usando el sistema de coordenadas cilíndrico (\(\rho, \phi, z\)) con el\(z\) eje a lo largo del conductor interno, tenemos\(\partial V /\partial \phi = 0\) debido a la simetría. También nos fijamos\(\partial V /\partial z = 0\) ya que el resultado no debe depender de\(z\). Así, tenemos:

\[\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} \left( \rho \frac{\partial V}{\partial\rho} \right) = 0 \nonumber \]

Resolviendo para\(V\), tenemos

\[V(\rho) = A\ln\rho + B \nonumber \]

donde\(A\) y\(B\) son constantes arbitrarias, presumiblemente determinadas por condiciones de frontera. Supongamos una tensión\(V_0\) medida desde el conductor interno (que sirve como el “\(+\)” terminal) al conductor externo (que sirve como el “\(-\)” terminal). Para esta elección, contamos con:

\ begin {align} V (a) = V_0 ~~~ &\ fila derecha ~~~ A\ ln a + B = V_0\\ V (b) = 0 ~~~ &\ fila derecha ~~~ A\ ln b + B = 0\ end {align}

Restando la segunda ecuación de la primera y resolviendo para\(A\), encontramos\(A=-V_0/\ln\left(b/a\right)\). Posteriormente,\(B\) se encuentra que es\(V_0\ln\left(b\right)/\ln\left(b/a\right)\), y así

\[V(\rho) = \frac{-V_0}{\ln\left(b/a\right)} \ln \rho + \frac{V_0\ln\left(b\right)}{\ln\left(b/a\right)} \nonumber \]

La intensidad del campo eléctrico viene dada por:

\[{\bf E} = -\nabla V \nonumber \]

Nuevamente tenemos\(\partial V /\partial \phi = \partial V /\partial z = 0\), así

\ begin {align} {\ bf E} &= -\ hat {\ bf\ rho}\ frac {\ parcial} {\ parcial\ rho} V\\ &= -\ hat {\ bf\ rho}\ frac {\ parcial} {\ parcial\ rho}\ izquierda [\ frac {-V_0} {\ ln\ izquierda (b/a\ derecha)}\ ln\ rho +\ frac {V_0\ ln\ izquierda (b\ derecha)} {\ ln\ izquierda (b/a\ derecha)}\ derecha]\\ &= +\ hat {\ bf\ rho}\ frac {V_0} {\ rho\ ln\ izquierda (b/a\ derecha)}\ end { alinear}

Tenga en cuenta que la intensidad máxima del campo eléctrico en el espaciador ocurre en\(\rho=a\); es decir, en la superficie del conductor interno. Por lo tanto:

\[E_{pk} = \frac{V_0}{a \ln\left(b/a\right) } \nonumber \]

La potencia transferida por la línea se maximiza cuando se igualan las impedancias de la fuente y la carga\(Z_0\). En este caso, la potencia transferida es\(V_0^2/2Z_0\). Recordemos que la impedancia característica\(Z_0\) se da en el caso de “baja pérdida” como

\[Z_0 \approx \frac{1}{2\pi}\frac{\eta_0}{\sqrt{\epsilon_r}}\ln\left(\frac{b}{a}\right) \label{eZ0cc} \]

Por lo tanto, la máxima potencia segura es

\ begin {align} P_ {max} &=\ frac {V_0^2} {2Z_0}\\ &\ approx\ frac {E_ {pk} ^2 ~a^2\ ln^2\ izquierda (b/a\ derecha)} {2\ cdot\ izquierda (1/2\ pi\ derecha)\ izquierda (\ eta_0/\ sqrt {\ epsilon_r}\ derecha)\ ln\ izquierda (b/a\ derecha)}\\ &=\ frac {\ pi E_ {pk} ^2} {\ eta_0/\ sqrt {\ epsilon_r}} ~ a^2\ ln\ izquierda (b/a\ derecha)\ etiqueta {M0190_eph}\ end {align}

Ahora consideremos si hay un valor del\(a\) cual maximiza\(P_{max}\). Esto lo hacemos viendo si\(\partial P_{max}/\partial a = 0\) por algunos valores de\(a\) y\(b\). El derivado es elaborado en una adenda al final de esta sección. Utilizando el resultado de la adenda, encontramos:

\[\frac{\partial }{\partial a} P_{max} = \frac{ \pi E_{pk}^2 }{\eta_0/\sqrt{\epsilon_r}} ~\left[ 2a\ln\left(b/a\right)-a \right] \label{m0190_ePH2} \]

Para que la expresión anterior sea cero, debe ser cierto que\(2\ln\left(b/a\right)-1 = 0\). Resolviendo para\(b/a\), obtenemos:

\[\frac{b}{a} = \sqrt{e} \cong 1.65 \label{m0190_eOptba} \]

para un manejo óptimo de la potencia. En otras palabras, 1.65 es la relación de los radios de los conductores externo e interno que maximiza la potencia que puede ser manejada de manera segura por el cable.

La ecuación\ ref {M0190_eph} sugiere que se\(\epsilon_r\) debe maximizar para maximizar el manejo de la energía, y no estaría equivocado al señalar que, sin embargo, hay algunos otros factores que pueden indicar lo contrario. Por ejemplo, un material con mayor también\(\epsilon_r\) puede tener mayor\(\sigma_s\), lo que significa que más corriente fluye a través del espaciador y por lo tanto más calentamiento óhmico. Este problema es tan grave que los cables que manejan alta potencia de RF a menudo usan aire como espaciador, a pesar de que tiene el valor más bajo posible de\(\epsilon_r\). También vale la pena señalar eso\(\sigma_{ic}\) y\(\sigma_{oc}\) no importan según el análisis que acabamos de hacer; sin embargo, en la medida en que la conductividad limitada dé como resultado un calentamiento óhmico significativo en los conductores —que tampoco hemos considerado— puede haber algo a considerar. Baste decir, el hallazgo procesable aquí se refiere a la relación de los radios; los demás parámetros no han sido adecuadamente restringidos por este análisis.

Sustituyendo\(\sqrt{e}\)\(b/a\) en la Ecuación\ ref {EZ0cc}, encontramos:

\[Z_0 \approx \frac{30.0~\Omega}{\sqrt{\epsilon_r}} \nonumber \]

Esta es la impedancia característica de la línea coaxial que optimiza el manejo de la energía, sujeto a las advertencias identificadas anteriormente. Para cables llenos de aire, obtenemos\(30~\Omega\). Ya que\(\epsilon_r\ge 1\), esta impedancia óptima es menor para los cables llenos de dieléctricos que para los cables llenos de aire.

Resumiendo:

La capacidad de manejo de energía de la línea de transmisión coaxial se optimiza cuando la relación de radios de los conductores externos e internos\(b/a\) es de aproximadamente 1.65. Para los cables llenos de aire que se utilizan normalmente en aplicaciones de alta potencia, esto corresponde a una impedancia característica de aproximadamente\(30~\Omega\).

Adenda: Derivada de\(\left(1/a+C/b\right)/\ln(b/a)\)

Evaluación de la Ecuación\ ref {M0190_EPH} requiere encontrar la derivada de\(\left(1/a+C/b\right)/\ln(b/a)\) con respecto a\(a\). Usando la regla de la cadena, encontramos:

\ begin {align}\ frac {\ parcial} {\ parcial a}\ izquierda [\ frac {1/a + c/b} {\ ln\ izquierda (b/a\ derecha)}\ derecha] &=\ izquierda [\ frac {\ parcial} {\ parcial a}\ izquierda (\ frac {1} {a} +\ frac {C} {b}\ derecha)\ derecha]\ ln^ {-1}\ izquierda (\ frac {b} {a}\ derecha)\ nonumber\\ &+\ izquierda (\ frac {1} {a} +\ frac {C} {b}\ derecha)\ izquierda [\ frac {\ parcial} {\ parcial a} \ ln^ {-1}\ izquierda (\ frac {b} {a}\ derecha)\ derecha]\ end {align}

Nota

\[\frac{\partial}{\partial a} \left(\frac{1}{a} + \frac{C}{b}\right) = -\frac{1}{a^2} \nonumber \]

Para manejar la cantidad en el segundo juego de corchetes, primero defina\(v = \ln u\), donde\(u=b/a\). Entonces:

\ begin {align}\ frac {\ parcial} {\ parcial a} v^ {-1} &=\ izquierda [\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial} v^ {-1}\ derecha]\ izquierda [\ frac {\ parcial v} {\ parcial u}\ derecha]\ izquierda [\ frac {\ parcial u} {\ parcial a}\ derecha]\ nonumber\\ &= izquierda [-v^ {-2}\ derecha]\ izquierda [\ frac {1} {u}\ derecha]\ izquierda [-ba^ {-2}\ derecha]\ nonumber\\ &=\ izquierda [-\ ln^ {-2}\ izquierda (\ frac {b} {a}\ derecha)\ derecha]\ izquierda [\ frac {a} {b}\ derecha]\ izquierda [-ba^ {-2}\ derecha]\ nonumber\\ &=\ frac {1} {a}\ ln^ {-2}\ izquierda (\ frac {b} {a}\ derecha)\ final {alinear}

Entonces:

\ begin {align}\ frac {\ parcial} {\ parcial a}\ izquierda [\ frac {1/a + c/b} {\ ln\ izquierda (b/a\ derecha)}\ derecha] &=\ izquierda [-\ frac {1} {a^2}\ derecha]\ ln^ {-1}\ izquierda (\ frac {b} {a}\ derecha)\ nonumber\\ +\ izquierda (\ frac {1} {a} +\ frac {C} {b}\ derecha)\ izquierda [\ frac {1} {a}\ ln^ {-2}\ izquierda (\ frac {b} {a}\ derecha)\ derecha]\ end {align}

Este resultado se sustituye en la Ecuación\ ref {M0190_EPh} para obtener la Ecuación\ ref {M0190_Eph2}.