4.6: Número esperado de renovaciones

El propósito de esta sección es evaluar\(\mathrm{E}[N(t)]\), denotado\(m(t)\), en función de\(t>0\) para procesos arbitrarios de renovación. Primero encontramos una expresión exacta, en forma de ecuación integral, para\(m(t)\). Esto se puede resolver fácilmente mediante métodos de transformación de Laplace en casos especiales. Para el caso general, sin embargo,\(m(t)\) se vuelve cada vez más desordenado para los grandes\(t\), por lo que luego encontramos el comportamiento asintótico de\(m(t)\). Dado que\(N(t) / t\) se aproxima\(1 / \overline{X}\) con probabilidad 1, podríamos\(m(t)\) esperar crecer con una derivada\(m^{\prime}(t)\) que se aproxime asintóticamente\(1 / \overline{X}\). Esto no es cierto en general. Dos resultados algo más débiles, sin embargo, son ciertos. El primero, denominado teorema de renovación elemental (Teorema 4.6.1), afirma que\(\lim _{t \rightarrow \infty} m(t) / t=1 / \overline{X}\). El segundo resultado, llamado teorema de Blackwell (Teorema 4.6.2), establece que, sujeto a algunas limitaciones sobre\(\delta>0\),\(\lim _{t \rightarrow \infty}[m(t+\delta)-m(t)]=\delta / \overline{X}\). Esto dice esencialmente que la tasa de renovación esperada se acerca al estado estacionario como\(t \rightarrow \infty\). Encontraremos una serie de aplicaciones del teorema de Blackwell a lo largo del resto del texto.

El cálculo exacto de\(m(t)\) hace uso del hecho de que la expectativa de una variable aleatoria no negativa se define como la integral de su función de distribución complementaria,

\(m(t)=\mathrm{E}[N(t)]=\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Pr}\{N(t) \geq n\}.\)

Ya que el evento\(\{N(t) \geq n\}\) es el mismo que\(\left\{S_{n} \leq t\right\}\),\(m(t)\) se expresa en términos de las funciones de distribución de\(S_{n}\),\(n \geq 1\), de la siguiente manera.

\[m(t)=\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Pr}\left\{S_{n} \leq t\right\}.\label{4.51} \]

Aunque esta expresión parece bastante simple, se vuelve cada vez más compleja con el aumento\(t\). A medida que\(t\) aumenta, hay un conjunto creciente de valores de\(n\) para los cuales\(\operatorname{Pr}\left\{S_{n} \leq t\right\}\) es significativo, y\(\operatorname{Pr}\left\{S_{n} \leq t\right\}\) en sí mismo no es tan fácil de calcular si la distribución entre llegadas\(\mathrm{F}_{X}(x)\) es complicada. La principal utilidad de\ ref {4.51} proviene del hecho de que conduce a una ecuación integral para\(m(t)\). Ya que\(S_{n}=S_{n-1}+X_{n}\) para cada uno\(n \geq 1\) (interpretando\(S_{0}\) como 0),\(X_{n}\) y desde y\(S_{n-1}\) son independientes, podemos usar la ecuación de convolución\ ref {1.11} para obtener

\(\operatorname{Pr}\left\{S_{n} \leq t\right\}=\int_{x=0}^{t} \operatorname{Pr}\left\{S_{n-1} \leq t-x\right\} d \mathrm{~F}_{X}(x) \quad \text { for } n \geq 2.\)

Sustituyendo esto en\ ref {4.51} por\(n \geq 2\) y usando el hecho de que\(\operatorname{Pr}\left\{S_{1} \leq t\right\}=\mathrm{F}_{X}(t)\), podemos intercambiar el orden de integración y suma para obtener

\ [\ begin {alineado}
m (t) &=\ mathrm {F} _ {X} (t) +\ int_ {x=0} ^ {t}\ sum_ {n=2} ^ {\ infty}\ nombreoperador {Pr}\ izquierda\ {S_ {n-1}\ leq t-x\ derecha\} d\ mathrm {~F} _ _ {X} (x)\\
&=\ mathrm {F} _ _ {X} (t) +\ int_ {x=0} ^ {t}\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ nombreoperador {Pr}\ izquierda\ {S_ {n}\ leq t-x\ derecha\} d\ mathrm {~F} _ _ {X} (x)\\
&=\ mathrm {F} _ {X} (t) +\ int_ {x=0} ^ {t} m (t-x) d\ mathrm {~F} _ _ {X} (x);\ quad t\ geq 0
\ final {alineado}\ etiqueta {4.52}\]

Una derivación alternativa se da en el Ejercicio 4.22. Esta ecuación integral se llama la ecuación de renovación. La siguiente forma alternativa se logra mediante la integración por partes. ¹⁷

\[m(t)=\mathrm{F}_{X}(t)+\int_{\tau=0}^{t} F_{X}(t-\tau) d m(\tau) ; \quad t \geq 0\label{4.53} \]

Enfoque de transformación de Laplace

Si asumimos que\(X \geq 0\) tiene una densidad\(\mathrm{f}_{X}(x)\), y que esta densidad tiene una transformada de Laplace ¹⁸\(L_{X}(s)=\int_{0}^{\infty} \mathrm{f}_{X}(x) e^{-s x} d x\), entonces podemos tomar la transformada de Laplace de ambos lados de (4.52). Tenga en cuenta que el término final en\ ref {4.52} es la convolución de\(m\) con\(\mathrm{f}_{X}\), para que la transformación de Laplace de\(m(t)\) satisfaga

\(L_{m}(s)=\frac{L_{X}(s)}{s}+L_{m}(s) L_{X}(s).\)

Resolviendo para\(L_{m}(s)\),

\[L_{m}(s)=\frac{L_{X}(s)}{s\left[1-L_{X}(s)\right]}.\label{4.54} \]

Ejemplo 4.6.1

Como ejemplo sencillo de cómo se puede utilizar esto para calcular\(m(t)\), supongamos\(\mathrm{f}_{X}(x)=(1 / 2) e^{-x}+e^{-2 x}\) para\(x \geq 0\). La transformación de Laplace viene dada por

\(L_{X}(s)=\frac{1}{2(s+1)}+\frac{1}{s+2}=\frac{(3 / 2) s+2}{(s+1)(s+2)}.\)

Sustituyendo esto en\ ref {4.54} rendimientos

\(L_{m}(s)=\frac{(3 / 2) s+2}{s^{2}(s+3 / 2)}=\frac{4}{3 s^{2}}+\frac{1}{9 s}-\frac{1}{9(s+3 / 2)}.\)

Podemos resolver para\(m(t)\),\(t \geq 0\), tomando la transformada inversa de Laplace,

\(m(t)=\frac{4 t}{3}+\frac{1-\exp [-(3 / 2) t]}{9}.\)

El procedimiento en este ejemplo se puede utilizar para cualquier densidad inter-renovación\(\mathrm{f}_{X}(x)\) para la que la transformada de Laplace sea una función racional, es decir, una relación de polinomios. En tales casos, también\(L_{m}(s)\) será una función racional. La fórmula de inversión Heaviside (es decir, factorizar el denominador y expresar\(L_{m}(s)\) como una suma de polos individuales como se hizo anteriormente) se puede usar entonces para calcular\(m(t)\). En el ejemplo anterior, había un polo de segundo orden al\(s=0\) conducir al término lineal\(4 t / 3\) en\(m(t)\), había un polo de primer orden al\(s=0\) conducir a la constante 1/9, y había un polo al\(s=-3 / 2\) conducir al término exponencialmente en descomposición.

Ahora demostramos que un polo de segundo orden en\(s=0\) siempre ocurre cuando\(L_{X}(s)\) es una función racional. Para ver esto, tenga en cuenta que\(L_{X}(0)\) es solo la integral de\(f_{X}(x)\), que es 1; así\(1-L_{X}(s)\) tiene un cero en\(s=0\) y\(L_{m}(s)\) tiene un polo de segundo orden en\(s=0\). Para evaluar el residuo para este polo de segundo orden, recordamos que las derivadas primera y segunda de\(L_{X}(s)\) at\(s=0\) son\(-\mathrm{E}[X]\) y\(\mathrm{E}\left[X^{2}\right]\) respectivamente. La expansión\(L_{X}(s)\) en una serie de potencias alrededor de\(s=0\) entonces rinde\(L_{X}(s)=1-s \mathrm{E}[X]+\left(s^{2} / 2\right) \mathrm{E}\left[X^{2}\right]\) más términos de orden\(s^{3}\) o superiores. Esto nos da

\[L_{m}(s)=\frac{1-s \overline{X}+\left(s^{2} / 2\right) \mathrm{E}\left[X^{2}\right]+\cdots}{s^{2}\left[\overline{X}-(s / 2) \mathrm{E}\left[X^{2}\right]+\cdots\right]}=\frac{1}{s^{2} \overline{X}}+\frac{1}{s}\left(\frac{\mathrm{E}\left[X^{2}\right]}{2 \overline{X}^{2}}-1\right)+\cdots.\label{4.55} \]

Los términos restantes son los otros polos de\(L_{m}(s)\) con sus residuos. Para valores de\(s\) con\(\Re(s) \geq 0\), tenemos\(\left|L_{X}(s)\right|=\left|\int \mathrm{f}_{X}(x) e^{-s x} d x\right| \leq \int \mathrm{f}_{X}(x)\left|e^{-s x}\right| d x \leq \int \mathrm{f}_{X}(x) d x=1\) con estricta desigualdad a excepción de\(s=0\). Por lo tanto,\(L_{X}(s)\) no puede tener polos en el eje imaginario ni en el medio plano derecho, y\(1-L_{X}(s)\) no puede tener ningún cero allí que no sea el que está en\(s=0\). De ello se deduce que todos los polos restantes de\(L_{m}(s)\) están estrictamente en el medio plano izquierdo. Esto significa que las transformaciones inversas para todos estos polos restantes mueren como\(t \rightarrow \infty\). Así, la transformada inversa de Laplace\(L_{m}(s)\) es

\ [\ begin {alineado}
m (t) &=\ frac {t} {\ overline {X}} +\ frac {\ mathrm {E}\ left [X^ {2}\ derecha]} {2\ overline {X} ^ {2}} -1+\ épsilon (t)\\
&=\ frac {t} {\ overline {X}} +\ frac {\ sigma^ {2}} {2\ overline {X} ^ {2}} -\ frac {1} {2} +\ epsilon (t)\ quad\ text {for} t\ geq 0,
\ end {alineado}\ label {4. 56}\]

donde\(\lim _{t \rightarrow \infty} \epsilon(t)=0\).

Hemos derivado\ ref {4.56} sólo para el caso especial en el que\(\mathrm{f}_{X}(x)\) tiene una transformación racional de Laplace. Para este caso,\ ref {4.56} implica tanto el teorema\(\left(\lim _{t \rightarrow \infty} m(t) / t=1/\overline{X}\right)\) de renovación elemental como también el teorema de Blackwell\(\left(\lim _{t \rightarrow \infty}[m(t+\delta)-m(t)]=\delta / \overline{X}\right)\). Interpretaremos el significado del término constante\(\sigma^{2} /\left(2 \overline{X}^{2}\right)-1 / 2\) en la Sección 4.8.

Teorema de renovación elemental

Teorema 4.6.2 (El teorema de la renovación elemental)

Dejar\(\{N(t) ; t>0\}\) ser un proceso de conteo de renovación con intervalo interrenovaciones medio\(\overline{X}\). Entonces\(\lim _{t \rightarrow \infty} \mathrm{E}[N(t)] / t=1 / \overline{X}\).

Discusión: Ya hemos visto que\(m(t)=\mathrm{E}[N(t)]\) es finito para todos\(t>0\) (ver Ejercicio 4.2). El teorema se prueba estableciendo un límite inferior y superior\(m(t) / t\) y mostrando que cada uno se acerca\(1 / \mathrm{E}[X]\) como\(t \rightarrow \infty\). El elemento clave para cada encuadernado es (4.35), repetido a continuación, que viene de la igualdad de Wald.

\[m(t)=\frac{\mathrm{E}\left[S_{N(t)+1}\right]}{\overline{X}}-1.\label{4.57} \]

Prueba

El límite inferior a\(m(t) / t\) viene reconociendo que\(S_{N(t)+1}\) es la época de la primera llegada después\(t\). Por lo tanto\(\mathrm{E}\left[S_{N(t)+1}\right]>t\). Sustituyendo esto en (4.57),

\(\frac{m(t)}{t}>\frac{1}{\mathrm{E}[X]}-\frac{1}{t}.\)

Claramente este límite inferior se aproxima\(1 / \mathrm{E}[X]\) como\(t \rightarrow \infty\). El límite superior, que es más difícil ¹⁹ y podría omitirse en una primera lectura, se establece truncando primero\(X(t)\) y luego aplicando\ ref {4.57} al proceso truncado.

Para una constante arbitraria\(b>0\), vamos\(\breve{X}_{i}=\min \left(b, X_{i}\right)\). Dado que estas variables aleatorias truncadas son IID, forman un proceso de recuento de renovación relacionado\(\{\breve{N}(t) ; t>0\}\) con\(\breve{m}(t)=\mathrm{E}[\breve{N}(t)]\) y\(\breve{S}_{n}=\breve{X}_{1}+\cdots+\breve{X}_{n}\). Ya que\(\breve{X}_{i} \leq X_{i}\) para todos\(i\), vemos eso\(\breve{S}_{n} \leq S_{n}\) para todos\(n\). Ya que\(\left\{S_{n} \leq t\right\}=\{N(t) \geq n\}\), se deduce que\(\breve{N}(t) \geq N(t)\) y así\(\breve{m}(t) \geq m(t)\). Por último, en el proceso truncado,\(\breve{S}_{\breve{N}(t)+1} \leq t+b\) y así\(\mathrm{E}\left[\breve{S}_{\breve{N}(t)+1}\right] \leq t+b\). Así, aplicando\ ref {4.57} al proceso truncado,

\(\frac{m(t)}{t} \leq \frac{\breve{m}(t)}{t}=\frac{\mathrm{E}\left[S_{\check{N}(t)+1}\right]}{t \mathrm{E}[\breve{X}]}-\frac{1}{t} \leq \frac{t+b}{t \mathrm{E}[\breve{X}]}.\)

A continuación, elija\(b=\sqrt{t}\). Entonces

\(\frac{m(t)}{t} \leq \frac{1}{\mathrm{E}[\breve{X}]}+\frac{1}{\sqrt{t} \mathrm{E}[\breve{X}]}\).

Tenga en cuenta finalmente eso\(\mathrm{E}[\breve{X}]=\int_{0}^{b}\left[1-\mathrm{F}_{X}(x)\right] dx\). Ya que\(b=\sqrt{t}\), tenemos\(\lim _{t \rightarrow \infty} \mathrm{E}[\breve{X}]=\mathrm{E}[X]\), completando la prueba.

Obsérvese que este teorema (y su prueba) no han asumido varianza finita. También se puede ver que el teorema sostiene cuando\(\mathrm{E}[X]\) es infinito, ya que\(\lim _{t \rightarrow \infty} \mathrm{E}[\breve{X}]=\infty\) en este caso.

Recordemos que\(N[t, \omega] / t\) es el número promedio de renovaciones de 0 a\(t\) para una función de muestra\(\omega\), y\(m(t) / t\) es el promedio de esto sobre\(\omega\). Combinando con el Teorema 4.3.1, vemos que el tiempo limitante y ensemble-promedio es igual a la tasa de renovación promedio de tiempo para cada función de muestra excepto por un conjunto de probabilidad 0.

Otra pregunta interesante es determinar la tasa de renovación esperada en el límite de grandes\(t\) sin promediar de 0 a\(t\). Es decir, ¿hay algunos valores\(t\) en los que las renovaciones son más probables que otras para grandes\(t\)? Si los intervalos entre renovaciones tienen una función de distribución entera (es decir, cada intervalo entre renovaciones debe durar un número entero de unidades de tiempo), entonces cada época de renovación también\(S_{n}\) debe ser un número entero. Esto significa que\(N(t)\) puede aumentar solo en tiempos enteros y la tasa esperada de renovaciones es cero en todos los tiempos no enteros.

Una generalización obvia de intervalos entre renovaciones de valor entero es la de las inter-renovaciones que ocurren solo en múltiplos enteros de algún número real\(d>0\). Tal distribución se llama distribución aritmética. El span de una distribución aritmética es el mayor número\(\lambda\) tal que esta propiedad posee. Así, por ejemplo, si\(X\) toma solo los valores 0, 2 y 6, su distribución es aritmética con span\(\lambda=2\). Del mismo modo, si\(X\) toma solo los valores 1/3 y 1/5, entonces el span es\(\lambda=1 / 15\). Lo notable, para nuestros propósitos, es que cualquier distribución inter-renovación que no sea una distribución aritmética conduce a una tasa esperada uniforme de renovaciones en el límite de grandes\(t\). Este resultado está contenido en el teorema de renovación de Blackwell, que declaramos sin pruebas. ²⁰. Recordemos, sin embargo, que para el caso especial de una densidad interrenovadora con una transformación racional de Laplace, el teorema de la renovación de Blackwell es una simple consecuencia de (4.56).

Teorema 4.6.2 (Blackwell).

Si un proceso de renovación tiene una distribución inter-renovación que no es aritmética, entonces para cada uno\(\delta>0\),

\[\lim _{t \rightarrow \infty}[m(t+\delta)-m(t)]=\frac{\delta}{\mathrm{E}[X]}.\label{4.58} \]

Si la distribución entre renovaciones es aritmética con span\(\lambda\), entonces

\[\lim _{t \rightarrow \infty}[m(t+\lambda)-m(t)]=\frac{\lambda}{\mathrm{E}[X]}.\label{4.59} \]

Eq. \ ref {4.58} dice que para distribuciones no aritméticas, el número esperado de llegadas en el intervalo\((t, t+\delta]\) es igual a\(\delta / \mathrm{E}[X]\) en el límite\(t \rightarrow \infty\). Dado que el teorema es cierto para arbitrariamente pequeños\(\delta\), el teorema casi parece estar diciendo que\(m(t)\) tiene un derivado para grandes\(t\), pero esto no es cierto. Se puede ver la razón mirando un ejemplo donde se\(X\) pueden tomar sólo los valores 1 y\(\pi\). Entonces no importa cuán grande\(t\) sea, sólo\(N(t)\) puede aumentar en puntos discretos de tiempo de la forma\(k+j \pi\) donde\(k\) y\(j\) son enteros no negativos. Así\(d m(t) / d t\) es 0 o\(\infty\) para todos\(t\). A medida que\(t\) se hace más grande, los saltos\(m(t)\) se vuelven tanto más pequeños en magnitud como más estrechamente espaciados de uno a otro. Así\([m(t+\delta)-m(t)] / \delta\) puede acercarse\(1 / \mathrm{E}[X]\) como\(t \rightarrow \infty\) para cualquier fijo\(\delta\) (como dice el teorema), pero a medida que\(\delta\) se hace más pequeño, la convergencia en\(t\) se vuelve más lenta. Para el ejemplo anterior (y para todas las distribuciones discretas no aritméticas),\([m(t+\delta)-m(t)] / \delta\) no se acerca a ²¹\(1 / \mathrm{E}[X]\) para ninguna\(t\) as\(\delta \rightarrow 0\).

Para un proceso de renovación aritmética con span\(\lambda\), el comportamiento asintótico del\(m(t)\) as\(t \rightarrow \infty\) es mucho más sencillo. Las renovaciones solo pueden ocurrir en múltiplos de\(\lambda\), y dado que no se permiten renovaciones simultáneas, ya sea 0 o 1 renovación ocurre en cada momento\(k \lambda\). Así para cualquiera\(k\). tenemos

\[\operatorname{Pr}\{\text { Renewal at } \lambda k\}=m(\lambda k)-m(\lambda(k-1)), \label{4.60} \]

donde, por convención, tomamos\(m(0)=0\). Así\ ref {4.59} se puede replantear como

\[\lim _{k \rightarrow \infty} \operatorname{Pr}\{\text { Renewal at } k \lambda\}=\frac{\lambda}{\overline{X}}\label{4.61} \]

El comportamiento limitante de\(m(t)\) se discute más a fondo en la siguiente sección.

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¹⁷ En la Sección 4.7.3 se discutirá una sutileza matemática con las integrales de Stieltjes\ ref {4.52} y\ ref {4.53}.

¹⁸ Tenga en cuenta que\(L_{X}(s)=\mathrm{E}\left[e^{-s X}\right]=g_{X}(-s)\) donde\(g\) está el MGF de\(X\). Así el argumento aquí podría llevarse a cabo utilizando el MGF. Utilizamos la transformación de Laplace ya que los mecánicos aquí son muy familiares para la mayoría de los estudiantes de ingeniería

¹⁹ La dificultad aquí, y la razón para utilizar un argumento de truncamiento, proviene del hecho de que la vida residual,\(S_{N(t)+1}-t\) at\(t\) podría ser arbitrariamente grande. Vimos en la Sección 4.4 que la vida residual promedio en el tiempo es infinita si\(\mathrm{E}\left[X^{2}\right]\) es infinita. La Figura 4.6 también ilustra por qué la vida residual puede ser tan grande.

²⁰ Véase Teorema 1 de la Sección 11.1, de [8]) para una prueba