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3.6: Estabilidad BIBO de Sistemas de Tiempo Continuo

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    Introducción

    Estabilidad BIBO significa entrada acotada, estabilidad de salida acotada. La estabilidad BIBO es la propiedad del sistema que cualquier entrada acotada produce una salida acotada. Es decir que mientras ingresemos una señal con valor absoluto menor que alguna constante, se nos garantiza tener una salida con valor absoluto menor que alguna otra constante.

    Estabilidad BIBO en Tiempo Continuo

    Para entender este concepto, primero debemos mirar más de cerca exactamente lo que entendemos por acotado. Una señal acotada es cualquier señal tal que exista un valor tal que el valor absoluto de la señal nunca sea mayor que algún valor. Dado que este valor es arbitrario, lo que queremos decir es que en ningún momento la señal puede tender al infinito, incluido el comportamiento final.

    Figura\(\PageIndex{1}\): Una señal acotada es una señal para la que existe una constante\(A\) tal que\(\forall t:(|f(t)|<A)\)

    Condiciones de dominio de tiempo

    Ahora que hemos identificado lo que significa que una señal sea acotada, debemos dirigir nuestra atención a la condición que debe poseer un sistema para garantizar que si se pasa alguna señal acotada a través del sistema, surgirá una señal acotada en la salida. Resulta que un sistema LTI de tiempo continuo (Sección 2.1) con respuesta al impulso\(h(t)\) es BIBO estable si y solo si

    Condición de tiempo continuo para estabilidad BIBO

    \[\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)| \mathrm{d} t<\infty \nonumber \]

    Es decir, que la respuesta al impulso es absolutamente integrable.

    Condiciones del dominio de Laplace

    La estabilidad es muy fácil de inferir a partir de la gráfica polo-cero de una función de transferencia. La única condición necesaria para demostrar estabilidad es mostrar que el\(i\omega\) eje -está en la región de convergencia. En consecuencia, para sistemas causales estables, todos los polos deben estar a la izquierda del eje imaginario.

    (a)
    b)
    Figura\(\PageIndex{2}\): (a) Ejemplo de una gráfica polo-cero para un sistema estable de tiempo continuo. (b) Ejemplo de una gráfica polo-cero para un sistema inestable de tiempo continuo.

    Resumen de estabilidad de BIBO

    La estabilidad de salida acotada de entrada limitada, también conocida como estabilidad BIBO, es una característica importante y generalmente deseable del sistema. Un sistema es BIBO estable si cada señal de entrada acotada da como resultado una señal de salida acotada, donde la amplitud es la propiedad de que el valor absoluto de una señal no excede alguna constante finita. En términos de características de dominio de tiempo, un sistema de tiempo continuo es BIBO estable si y solo si su respuesta de impulso es absolutamente integrable. Equivalentemente, en términos de características de dominio de Laplace, un sistema de tiempo continuo es estable BIBO si y solo si la región de convergencia de la función de transferencia incluye el eje imaginario.


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