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## Introducción

En este módulo discutiremos las propiedades básicas de la Serie de Fourier de Tiempo Discreto. Comenzaremos refrescando su memoria de nuestras ecuaciones básicas de la serie de Fourier:

$f[n]=\sum_{k=0}^{N-1} c_{k} e^{j \omega_{0} k n} \nonumber$

$c_{k}=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-\left(j \frac{2 \pi}{N} k n\right)} \nonumber$

Dejar$$\mathscr{F}(\cdot)$$ denotar la transformación de$$f[n]$$ a los coeficientes de Fourier

$\mathscr{F}(f[n])=c_{k} \quad, \quad k \in \mathbb{Z} \nonumber$

$$\mathscr{F}(\cdot)$$mapea funciones complejas valoradas a secuencias de números complejos.

$$\mathscr{F}(\cdot)$$es una transformación lineal.

Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si$$\mathscr{F}(f[n])=c_{k}$$ y$$\mathscr{F}(g[n])=d_{k}$$. Entonces

$\mathscr{F}(\alpha f[n])=\alpha c_{k} \quad, \quad \alpha \in \mathbb{C} \nonumber$

y

$\mathscr{F}(f[n]+g[n])=c_{k}+d_{k} \nonumber$

Prueba

\ [\ begin {align}
\ mathscr {F} (f [n] +g [n]) &=\ sum_ {n=0} ^ {N} (f [n] +g [n]) e^ {-\ left (j\ omega_ {0} k n\ derecha)}, k\ in\ mathbb {Z}\ nonumber\\
&=\ frac {1} {N}\ suma_ {n=0} ^ {N} f [n] e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} k n\ derecha)} +\ frac {1} {N}\ suma_ {n=0} ^ {N} g [n] e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} k n\ derecha)}, k\ in \ mathbb {Z}\ nonumber\\
&=c_ {k} +d_ {k}, k\ in\ mathbb {Z}\ nonumber\\
&=c_ {k} +d_ {k}
\ end {align}\ nonumber\]

## Desviación

El desplazamiento en el tiempo equivale a un desplazamiento de fase de los coeficientes de Fourier.

Teorema$$\PageIndex{2}$$

$$\mathscr{F}\left(f\left[n-n_{0}\right]\right)=e^{-\left(j \omega_{0} k n_{0}\right)} c_{k}$$si$$c_{k}=\left|c_{k}\right| e^{j \angle\left(c_{k}\right)}$$, entonces

$\left|e^{-\left(j \omega_{0} k n_{0}\right)} c_{k}\right|=\left|e^{-\left(j \omega_{0} k n_{0}\right)}\right|\left|c_{k}\right|=\left|c_{k}\right| \nonumber$

$\angle\left(e^{-\left(j \omega_{0} n_{0} k\right)}\right)=\angle\left(c_{k}\right)-\omega_{0} n_{0} k \nonumber$

Prueba

\ [\ begin {align}
\ mathscr {F}\ izquierda (f\ izquierda [n-n_ {0}\ derecha]\ derecha) &=\ frac {1} {N}\ suma_ {n=0} ^ {N} f\ izquierda [n-n_ {0}\ derecha] e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} k n\ derecha)},\ k quad\ en\ mathbb {Z}\ nonumber\\
&=\ frac {1} {N}\ suma_ {n=-n_ {0}} ^ {n-n_ {0}} f\ izquierda [n-n_ {0}\ derecha] e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} k\ izquierda (n-n_ {0}\ derecha)\ derecha)} e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} k n_ {0}\ derecha)}\ quad,\ quad k\ in\ mathbb {Z}\ nonumber\\
&=\ frac {1} {N}\ sum_ {n=-n_ {0}} ^ {n-n_ {0}} [f\ tilde {n}] e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} k\ tilde {n}\ derecha)} e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} k n_ {0}\ derecha)}\ quad,\ quad k\ in\ mathbb {Z}\ nonumber\\
&=e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} k\ tilde {n}\ derecha)} c_ {k}\ quad,\ quad k\ in\ mathbb {Z}
\ end {align}\ nonumber\]

## Relación de Parseval

$\sum_{n=0}^{N}(|f[n]|)^{2}=N \sum_{k=0}^{N-1}\left(\left|c_{k}\right|\right)^{2} \nonumber$

La relación de Parseval nos dice que la energía de una señal es igual a la energía de su transformada de Fourier.

Nota

Parseval nos dice que la serie de Fourier se mapea$$L^2[0,N]$$ a$$l^2$$.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

$$f[n]$$Para tener “energía finita”, ¿cómo$$c_k$$ hacen los$$k \rightarrow \infty$$?

Contestar

$$\left(\left|c_{k}\right|\right)^{2}<\infty$$para$$f[n]$$ tener energía finita.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Si$$\forall k,|k|>0:\left(c_{k}=\frac{1}{k}\right)$$, ¿es$$f \in L^{2} [ [ 0, N ] ]$$?

Contestar

Sí, porque$$(|c_k|)^2=\frac{1}{k^2}$$, que es sumable.

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Ahora, si$$\forall k,|k|>0:\left(c_{k}=\frac{1}{\sqrt{k}}\right)$$,$$f \in L^{2} [ [ 0, N ] ]$$ ¿es?

Contestar

No, porque$$(|c_k|)^2=\frac{1}{k}$$, que no es sumable.

La tasa de decaimiento de la serie de Fourier determina si$$f[n]$$ tiene energía finita.

## Demostración del Teorema de Parsevals

Regla$$\PageIndex{1}$$: Even Signals

$$f[n] = f[-n]$$

$$\left\|c_{k}\right\|=\left\|c_{-k}\right\|$$

Prueba

\ (\ begin {align}
c_ {k} =&\ frac {1} {N}\ suma_ {0} ^ {N} [n]\ exp\ left [-j\ omega_ {0} k n\ derecha]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {\ frac {N} {2}} f [n]\ exp\ izquierda [-j\ omega_ {0} k n\ derecha] +\ frac {1} {N}\ suma_ {\ frac {N} {2}} ^ {N} f [n]\ exp\ izquierda [-j\ omega_ {0} k n\ derecha]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {\ frac {N} {2}} f [-n]\ exp\ left [-j\ omega_ {0} k n\ derecha] +\ frac {1} {N}\ sum_ {\ frac {N} {2}} ^ {N} f [-n]\ exp\ izquierda [-j\ omega_ {0} k n\ derecha]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ suma_ {0} ^ {N} [n]\ izquierda [\ exp\ izquierda [j\ omega_ {0} k n\ derecha] +\ exp\ izquierda [-j\ omega_ {0} k n\ derecha]\ derecha]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ suma_ {0} ^ {N} [n] 2\ cos\ izquierda [\ omega_ {0} k n\ derecha]
\ end {align}\)

Regla$$\PageIndex{2}$$: Odd Signals

$$f[n]=-f[-n]$$

$$c_{k}=c_{-k}^*$$

Prueba

\ (\ begin {align}
c_ {k} =&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} f [n]\ exp\ left [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {\ frac {N} {2}} f [n]\ exp\ izquierda [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha] +\ frac {1} {N}\ sum_ {\ frac {N} {2}} ^ {N} f [n]\ exp\ left [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ suma_ {0} ^ {\ frac {N} {2}} f [n]\ exp\ izquierda [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha] -\ frac {1} {N} {N}\ sum_ {\ frac {N} {2} ^ {N} f [-n]\ exp\ izquierda [\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha]\ nonumber\\
=&-\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} f [n]\ left [\ exp\ left [\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha] -\ exp\ izquierda [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha]\ derecha]\ nonumber\\
=&-\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} f [n] 2\ nombreoperador {j\ sin}\ izquierda [\ omega_ {0} k n\ derecha]
\ end align {}\)

Regla$$\PageIndex{3}$$: Real Signals

$$f[n] = f^*[n]$$

$$c_k = c_{-k}^*$$

Prueba

\ (\ displaystyle {\ begin {align}
c_ {k} =&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} f [n]\ exp\ left [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {\ frac N} {2}} f [n]\ exp\ izquierda [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha] +\ frac {1} {N} {N}\ sum_ {\ frac {N} {2}} ^ {N} f [n]\ exp\ left [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ suma_ {0} ^ {\ frac {N} {2}} f [-n]\ exp\ izquierda [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha] +\ frac {1} {N}\ n sum_ {\ frac {} {2}} ^ {N} f [-n]\ exp\ izquierda [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} f [n]\ left [\ exp\ left [\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha] +\ exp\ izquierda [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ derecha]\ derecha]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} f [n] 2\ cos\ izquierda [\ omega_ {0} k\ derecha]
\ final {align}}\)

## Diferenciación en el Dominio de Fourier

$\left(\mathscr{F}(f[n])=c_{k}\right) \Rightarrow\left(\mathscr{F}\left(\frac{\mathrm{d} f[n]}{\mathrm{d} n}\right)=j k \omega_{0} c_{k}\right) \nonumber$

Desde

$f[n]=\sum_{i=0}^{N} c_{k} e^{j \omega_{0} k n} \nonumber$

entonces

\ [\ begin {align}
\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {dn}} f [n] &=\ sum_ {k=0} ^ {N} c_ {k}\ frac {\ mathrm {d} e^ {j\ omega_0 k n}} {\ mathrm {dn}}\ nonumber\\
&=\ sum_ {k=0} ^ {N} c_ {k} j\ omega_ {0} k e^ {j\ omega_ {0} k n}
\ end {align}\ nonumber\]

Un diferenciador atenúa las frecuencias bajas$$f[n]$$ y acentúa las frecuencias altas. Elimina tendencias generales y acentúa áreas de fuerte variación.

Nota

Una forma común de medir matemáticamente la suavidad de una función$$f[n]$$ es ver cuántas derivadas son energía finita.

Esto se hace observando los coeficientes de Fourier de la señal, específicamente qué tan rápido decaen como$$k \rightarrow \infty$$. Si$$\mathscr{F}(f[n])=c_{k}$$ y$$|c_k|$$ tiene la forma$$\frac{1}{k^l}$$, entonces$$\mathscr{F}\left(\frac{\mathrm{d}^{m} f[n]}{\mathrm{d} n^{m}}\right)=\left(j k \omega_{0}\right)^{m} c_{k}$$ y tiene la forma$$\frac{k^m}{k^l}$$. Entonces, para que el derivado$$m$$ th tenga energía finita, necesitamos

$\sum_{k}\left(\left|\frac{k^{m}}{k^{l}}\right|\right)^{2}<\infty \nonumber$

así$$\frac{k^{m}}{k^{l}}$$ decae más rápido de$$\frac{1}{k}$$ lo que implica que

$2l - 2m > 1 \nonumber$

o

$l > \frac{2m+1}{2} \nonumber$

Así, la tasa de decaimiento de la serie de Fourier dicta la suavidad.

## Integración en el dominio de Fourier

Si

$\mathscr{F}(f[n])=c_{k} \nonumber$

entonces

$\mathscr{F}\left(\sum_{\eta=0}^{n} f[\eta]\right)=\frac{1}{j \omega_{0} k} c_{k} \nonumber$

Nota

Si$$c_0 \neq 0$$, esta expresión no tiene sentido.

La integración acentúa las bajas frecuencias y atenúa las frecuencias altas. Los integradores resaltan las tendencias generales en las señales y suprimen la variación a corto plazo (que en muchos casos es ruido). Los integradores son mucho más agradables que los diferenciadores.

## Multiplicación de señal

Dada una señal$$f[n]$$ con coeficientes de Fourier$$c_k$$ y una señal$$g[n]$$ con coeficientes de Fourier$$d_k$$, podemos definir una nueva señal,$$y[n]$$, donde$$y[n]=f[n]g[n]$$. Encontramos que la representación de la Serie de Fourier de$$y[n]$$$$e_k$$,, es tal que$$e_{k}=\sum_{l=0}^{N} c_{l} d_{k-l}$$. Es decir que la multiplicación de la señal en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución circular de tiempo discreto (Sección 4.3) en el dominio de la frecuencia. La prueba de ello es la siguiente

\ [\ begin {align}
e_ {k} &=\ frac {1} {N}\ suma_ {n=0} ^ {N} f [n] g [n] e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} k n\ derecha)}\ nonumber\\
&=\ frac {1} {N}\ sum_ {n=0} ^ {N}\ sum_ {l=0} ^ {N} c_ {l} e^ {j\ omega_ {0} l n} g [n] e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} k n\ derecha)}\ nonumber\\
&=\ suma_ {l=0} ^ {N} c_ {l}\ izquierda (\ frac {1} {N}\ suma_ {n=0} ^ {N} g [n] e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} (k-l) n\ derecha)}\ derecha)\ nonumber\\
&=\ sum_ {l=0} ^ {N} c_ {l} d_ {k-l}
\ end {align}\ nonumber\]

## Conclusión

Al igual que otras transformadas de Fourier, el DTFS tiene muchas propiedades útiles, incluyendo linealidad, igual energía en los dominios de tiempo y frecuencia, y análogos para desplazamiento, diferenciación e integración.

Tabla$$\PageIndex{1}$$: Propiedades de la Transformada Discreta de Fourier
Linealidad $$ax(n)+by(n)$$ $$aX(k)+bY(k)$$
Cambio de tiempo $$x(n−m)$$ $$X(k)e^{−j2 \pi mk/N}$$
Modulación de tiempo $$x(n) e^{j 2 \pi m n / N}$$ $$X(k−m)$$
Multiplicación $$x(n)y(n)$$ $$X(k)*Y(k)$$
Convolución Circular $$x(n)*y(n)$$ $$X(k)Y(K)$$